從特徵向量到不變子空間

第一卷已經給你的

回憶第一卷：算子 T 的特徵向量 v 滿足 Tv = lambda*v。由 v 張成的直線——集合 {c*v : c 為純量}——有一個不起眼卻關鍵的性質：T 絕不會把這條直線上的任何向量送出這條直線。施加 T 後你仍停留在同一條直線上。這種穩定性正是本軌道一切內容的種子。

對角化是第一卷的高潮，但它其實只是幸運的情形——整個空間恰好分解為若干這種直線的直和。然而許多算子根本沒有特徵基。因此我們保留「穩定性」這個思想，而捨棄「一維」這個限制。

推廣特徵直線的定義

當 T(U) 包含於 U 時，子空間 U 是 T 的不變子空間：U 的每個向量都被映回 U 內部。整個空間 V 和零子空間 {0} 總是不變的——這是平凡的。特徵直線就是 1 維不變子空間。有趣的問題是介於其間的是什麼。

Let T act on R^3 by the matrix (in the standard basis)

  T = [ 2  1  0 ;
        0  2  0 ;
        0  0  5 ]

Check a candidate subspace U = span{ e1, e2 } (the xy-plane).
  T(e1) = 2*e1            -> in U
  T(e2) = 1*e1 + 2*e2     -> in U  (a combination of e1, e2)
So T(U) is contained in U: U is INVARIANT.

But e2 is NOT an eigenvector (T(e2) is not a multiple of e2).
The 2-dim invariant subspace exists even though only ONE
independent eigenvector lives inside it.

為什麼不變性是正確的視角

如果 U 不變，那麼 T 在 U 上限制為一個良定義的算子——記作 T|U。你可以孤立地研究這個更小的算子。把 V 分解為若干不變片，正是把一個困難算子拆成更小、可理解者的策略。所有不變子空間的全體構成不變子空間格，這一結構記錄了 T 可被切分的每一種方式。

當一個不變的 U 與另一個不變子空間 W 配對，使得 V = U (+) W 時，我們稱 W 為 U 的不變補。這種配對正是夢寐以求的：它讓我們能夠完全分開地在 U 上與 W 上研究 T。殘酷的真相——下一篇指南會探討——是這個補未必存在，而這一障礙正是某些算子拒絕對角化的根源。