定義矩陣的 exp
標量恆等式 e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... 只用到加法、乘法和冪——這些矩陣都有。於是定義矩陣指數 exp(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...。這個級數對每個方陣 A 都收斂，所以 exp(A) 總有定義。它是李理論中最重要的一個映射。
一個旋轉的演算
最乾淨的例子：對反對稱矩陣 J = [0, -1; 1, 0] 取指數。冪次循環：J^2 = -I，J^3 = -J，J^4 = I。把級數按偶次冪和奇次冪分組，恰好重現餘弦與正弦級數，給出角度為 t 的旋轉。一個平直、簡單的生成元變成了 SO(2) 中彎曲的成員。
J = [0, -1; 1, 0]
exp(t*J) = I + tJ + (t^2/2!)J^2 + (t^3/3!)J^3 + ...
= (1 - t^2/2! + ...) I + (t - t^3/3! + ...) J
= cos(t) I + sin(t) J
= [cos t, -sin t; sin t, cos t] = R(t) <- a rotation!
# check: exp(t*J) is in SO(2), and t controls the angle smoothly.
# det( exp(tJ) ) = e^{ trace(tJ) } = e^{0} = 1 (always)使它成為橋樑的兩條定律
兩個事實讓 exp 成為從平直空間通往彎曲群的橋。其一，det(exp A) = e^{trace(A)}，故若 跡(A) = 0，則 det(exp A) = 1，exp A 落入 SL(n)。其二，exp(A) 總可逆，其逆為 exp(-A)。於是無跡矩陣（一個簡單的線性條件）映到 SL(n)（一個彎曲的群）。平直的定義域是李代數；彎曲的目標是李群。
返程：矩陣對數
矩陣對數在單位元附近反轉 exp：log(I + X) = X - X^2/2 + X^3/3 - ...。對靠近 I 的群元素 g，log(g) 落回李代數，恢復出生成元。exp 與 log 一起，讓你在彎曲的群與其單位元處的平直切空間之間自由翻譯——而平直空間裡的計算容易得多。
讓參數 t 連續變動，t |-> exp(tA) 描出一個單參數子群——一條穿過單位元、且尊重群律的光滑曲線。下一篇就以這條曲線為理論的核心。