保持長度的對稱：O(n)、SO(n) 與 U(n)

保持內積

第一卷中，正交矩陣滿足 Q^T Q = I，列向量標準正交。其真正含義是：Q 保持[[inner-product|內積]]，從而保持長度和角度。事實上 <Qu, Qv> = (Qu)^T (Qv) = u^T Q^T Q v = u^T v = <u, v>。保持內積的變換是固定原點的剛體運動——這正是我們希望對稱所應是的樣子。

正交群 O(n)

把所有這樣的矩陣收集起來，就得到正交群 O(n) = { Q : Q^T Q = I }。按我們的配方它是 GL(n) 的子群：若 Q^T Q = I 且 R^T R = I，則 (QR)^T(QR) = R^T Q^T Q R = R^T R = I，而 Q^-1 = Q^T 也正交。由 Q^T Q = I 得 det(Q)^2 = 1，故 det(Q) = +1 或 -1：O(n) 分裂為旋轉與反射。

# A 2D rotation by angle t and a reflection both live in O(2)
R(t) = [cos t, -sin t; sin t, cos t]
   R^T R = I,   det R = cos^2 t + sin^2 t = +1   (rotation, in SO(2))

F = [1, 0; 0, -1]
   F^T F = I,   det F = -1                       (reflection, NOT in SO(2))

# product of two reflections is a rotation:
F1 = [1,0; 0,-1],  F2 = [cos a, sin a; sin a, -cos a]
F2 * F1 = R(a)        det(+1)(-1)... = (-1)(-1) = +1

O(2) 內 det = +1 的旋轉與 det = -1 的反射。

SO(n)：連通的旋轉群

加上條件 det = +1，就只保留旋轉：特殊正交群 SO(n) = O(n) 與 SL(n) 的交。SO(n) 是 O(n) 中與單位元連通的那部分——你能從 I 連續旋轉到任意旋轉，但不跳躍就永遠到不了反射。SO(2) 是一圈旋轉；SO(3) 是所有空間旋轉組成的群，是球面的對稱群。

走向複數：U(n)

在複數域上，正確的內積是 <u, v> = u* v，其中星號表示共軛轉置。保持它的矩陣滿足 U* U = I，組成酉群 U(n)。酉之於複空間，正如正交之於實空間：它保持複範數與長度。由 U* U = I 得 |det U| = 1，故 det U 是單位複數 e^{i*theta}，落在圓周上——比實情形那個僅僅 +/-1 要豐富。