從可逆矩陣到群：GL(n) 與 SL(n)

你早已知道的，換個名字

在第一卷你學到，有些矩陣有逆矩陣，有些沒有，而一個 n 階矩陣可逆當且僅當它的行列式非零。第二卷問一個更深的問題：拋開任何單個矩陣——可逆矩陣全體的結構是什麼？答案是一個群，而這一視角的轉變打開了整個連續對稱的理論。

群是一個集合配上一種運算，滿足：(1) 封閉——兩個成員相結合還得到成員，(2) 結合律，(3) 有單位元，(4) 每個成員在集合內都有逆元。對矩陣來說，運算就是矩陣乘法。驗證這四條公理，你會發現這個集合一直就是一個群。

一般線性群 GL(n)

一般線性群 GL(n) 是所有 n 階可逆實矩陣在乘法下的集合。它封閉，因為 det(AB) = det(A)det(B)，所以行列式非零的矩陣之積仍有非零行列式。單位元是 I，每個成員的逆元是它的矩陣逆。與加法不同，當 n >= 2 時這個群是非交換的——AB 和 BA 通常不相等。

# GL(2): two invertible matrices, both with det != 0
A = [2, 1; 1, 1]   det(A) = 2*1 - 1*1 = 1   (invertible)
B = [1, 1; 0, 1]   det(B) = 1*1 - 1*0 = 1   (invertible)

A*B = [2, 3; 1, 2]   det = 4 - 3 = 1     <- closed: still in GL(2)
B*A = [3, 2; 1, 1]   det = 3 - 2 = 1     <- but B*A != A*B (non-abelian)

A^-1 = [1, -1; -1, 2]   A * A^-1 = [1, 0; 0, 1] = I

GL(2) 內部的封閉性與非交換性。

用一個條件刻畫 SL(n)

大多數有趣的群都是從 GL(n) 中用一個額外條件切出的子群。特殊線性群 SL(n) 只保留行列式恰好為 1 的矩陣。為什麼這是群？因為 det(AB) = det(A)det(B) = 1*1 = 1 讓你留在群內，而 det(A^-1) = 1/det(A) = 1 也是如此。幾何上 SL(n) 是保體積、保定向變換組成的群。

為什麼這些群是連續的

GL(n) 不是一塊有限的對稱棋盤——你可以微調矩陣的元素、保持行列式非零，從而把一個矩陣平滑地滑向另一個。一個同時也是光滑曲面、其乘法和求逆都連續的群，就是李群。代數（群律）與幾何（光滑流形）的這種結合，正是後續全部內容的主題。

數維數能把這一點變得具體。GL(n) 生活在 n 階矩陣中，因此有 n^2 個自由參數。SL(n) 施加了一個方程 det = 1，把維數降到 n^2 - 1。對稱群成了可以度量的形狀，本主線後續就在度量它們。