當對角化失敗時
第一卷講過對角化：當 A 有一整組特徵向量時，A = P D P^-1。但許多矩陣是*虧損的*——它們沒有足夠的特徵向量，於是不存在特徵基，P 不可逆。更糟的是，即便 P 存在，它也可能極度非正交，使分解在數值上毫無用處。我們需要一種*總是*存在、且只用良態正交因子的分解。
Schur 分解正是這種分解：每個方陣（在複數域上）都可寫成 A = Q T Q^*，其中 Q 是么正矩陣（實情形下為正交矩陣），T 是上三角矩陣。任何虧損都攔不住它。而因為 Q 是么正的，T 與 A 相似，故 T 與 A 共享特徵值——它們就明晃晃地排在 T 的對角線上。
讀懂 Schur 形式
T 的對角線給出每個特徵值，而完全不必去解特徵多項式——這正是嚴肅軟體求特徵值的方式，因為對大的 n 來說多項式求根的條件極差。上三角部分記錄了特徵向量在多大程度上偏離正交（當 A 為正規矩陣時它恰為零）。你還能重排 T 的對角線，把選定的一簇特徵值挪到頂部，這是不變子空間與控制論計算的基礎。
A = [ 1 1 ; Q ~ orthonormal, T = [ 3 * ;
2 2 ] 0 0 ]
# A is defective-ish (rank 1), but Schur still exists.
# eigenvalues of A are 3 and 0 -> they appear on diag(T).
# the off-diagonal '*' encodes the non-orthogonality of A's eigenvectors.
# (The real Schur form keeps 2x2 blocks for complex-conjugate pairs.)極分解：旋轉乘以拉伸
極分解把任意方陣寫成 A = U P，其中 U 是正交矩陣（純旋轉/反射），P 是對稱半正定矩陣（沿正交軸的純非負拉伸）。它是把複數寫成 z = e^{i theta} r（相位乘以模長）的矩陣類比。這一分解把*算子所做的事*拆成「轉」與「縮」。
極分解與 SVD 是同一真理的兩種視角：若 A = W Sigma V^T 是 SVD，則 U = W V^T、P = V Sigma V^T。於是拉伸 P 的特徵值就是 A 的奇異值。工程師鍾愛極分解，因為 U 是與 A 最近的正交矩陣——它回答「與這個略有畸變的變換最接近的純旋轉是什麼？」，這正是圖形學、機器人學與晶體學中對測得旋轉做正交化的核心。