判據失效之時：虧損算子
當某個特徵值的幾何重數嚴格小於其代數重數時，判據失效，算子是虧損的。特徵向量根本不夠填滿一組基。最小的例子是第一篇裡的錯切 [4, 1; 0, 4]：二重特徵值配一維特徵子空間，恰好缺一個方向。
虧損不是你計算中的失誤——它是一種真實的結構性質。它正是後續課程為之而生所要處理的精確障礙：不變子空間、若爾當形與矩陣指數，全都從這一道缺口生長出來。
彌補缺口：廣義特徵子空間
修補之道是擴大每個特徵子空間。lambda 的廣義特徵子空間是 (A - lambda I)^k 的零空間（k 取得足夠大）——這些向量不是被 (A - lambda I) 一次作用所消滅，而是被它的某個冪所消滅。關鍵在於：廣義特徵子空間的維數等於代數重數，因此即便普通特徵子空間湊不齊，廣義特徵子空間也總能求和得到整個空間。
回報：冪、動力學與 PageRank
這就是這一切值得的原因。當 A 可對角化時，計算矩陣冪從 O(k) 次矩陣乘法坍縮為一次對角冪：A^k = P D^k P^-1，而 D^k 只需把每個特徵值取 k 次方。這一個恆等式就解出線性遞迴（費波那契的閉式）、演化離散動力系統 x_{k+1} = A x_k，並計算穩態。
Why the largest eigenvalue wins (power iteration intuition):
write any start vector in the eigenbasis: x = c_1 v_1 + ... + c_n v_n
apply A repeatedly:
A^k x = c_1 lambda_1^k v_1 + ... + c_n lambda_n^k v_k
if |lambda_1| > |lambda_2| >= ... (lambda_1 dominant), factor it out:
A^k x = lambda_1^k ( c_1 v_1 + c_2 (lambda_2/lambda_1)^k v_2 + ... )
\__ ratios (lambda_j/lambda_1)^k -> 0 as k grows __/
=> direction of A^k x -> the dominant eigenvector v_1.
This IS the engine of PageRank: the steady-state web-rank
is the dominant eigenvector of the link matrix.這套漸近行為正是主特徵值在起作用，其收斂速度由比值 |lambda_2 / lambda_1|——譜隙——決定。要在不解特徵多項式的情況下預測行為，像蓋爾什戈林圓盤這樣的特徵值估計能把譜圈定在直接從矩陣元素讀出的區域內。從一個算子的譜出發，你如今能得到它的長期動力學、穩定性，以及對整個網路的排序——這正是整個專題一路攀登所朝向的終點。