譜投影與同時對角化

按特徵值分解恆等

可對角化的 A 把空間分解為其特徵子空間的直和。對每個特徵值 lambda 都有一個譜投影 P_lambda——一個沿所有其他特徵子空間投到 E_lambda 上的投影。這些投影算子是 A 的譜骨架：它們冪等，不同特徵值之間相乘為零，且求和等於恆等。

If A is diagonalizable with distinct eigenvalues lambda_1, ..., lambda_k:

  P_i^2 = P_i              (each is a projection)
  P_i P_j = 0  for i != j  (orthogonal idempotents)
  P_1 + ... + P_k = I      (resolution of the identity)

Spectral decomposition of A:
  A = lambda_1 P_1 + ... + lambda_k P_k

And then ANY power / polynomial is read off the same projectors:
  A^m   = lambda_1^m P_1 + ... + lambda_k^m P_k
  f(A)  = f(lambda_1) P_1 + ... + f(lambda_k) P_k

譜分解：A 是其特徵子空間投影算子的加權和。

這是 A = P D P^-1 在算子層面的升級：不再是一次換基，而是 k 個獨立部件，每個攜帶一個特徵值。A 的函數——冪、指數、逆——化為逐特徵值地把函數作用於純量。

具體地建構投影算子

你不必去猜譜投影——它們直接從 A = P D P^-1 中讀出。把 P 的各列按特徵值分組；投影算子 P_lambda 保留屬於 lambda 的特徵子空間的座標，將其餘置零，再換回標準基表示。等價地，P_lambda = P E_lambda P^-1，其中 E_lambda 是對角指示矩陣，在 lambda 的槽位上為 1，其餘為 0。

A = [3, 1; 0, 2]      eigenvalues 3 and 2 (distinct -> diagonalizable)

  eigenvector for 3:  v1 = (1, 0)
  eigenvector for 2:  v2 = (1, -1)
  P = [1, 1; 0, -1]     P^-1 = [1, 1; 0, -1]   (P is its own inverse here)

  D = diag(3, 2)

  P_3 = P diag(1,0) P^-1 = [1, 1; 0, 0]    (onto E_3 along E_2)
  P_2 = P diag(0,1) P^-1 = [0, -1; 0, 1]   (onto E_2 along E_3)

check:  P_3 + P_2 = I,  P_3 P_2 = 0,  3 P_3 + 2 P_2 = A   OK

直接從一個 2x2 的特徵向量讀出它的兩個譜投影算子。

兩個算子，一組基

現在追問：兩個可對角化算子 A 與 B 能否被同一個 P 對角化？這就是同時對角化。乾淨的定理：兩個可對角化算子可同時對角化，當且僅當它們可交換，即 AB = BA。可交換正是共享特徵基在代數上的影子。

一個方向的直覺：若 B 與 A 可交換，則 B 把 A 的每個特徵子空間映入其自身（A 的特徵子空間在 B 下不變）。把 B 限制到每個特徵子空間，在那裡將它對角化，再把各局部特徵基縫合起來——所得結果同時把兩者對角化。