對角化意味著特徵基
當存在一組完全由特徵向量構成的全空間基——特徵基——時，算子可對角化。在該基下 A 表現為各自獨立的縮放，於是化為以特徵值為對角元的對角矩陣。具體地 A = P D P^-1，其中 P 的各列是特徵向量，D 是對角矩陣。整個問題就是：你能否湊齊 n 個獨立特徵向量？
因此可對角化是算子的一種性質，而非你執行的某次計算——特徵基要麼存在，要麼不存在，與你算得多巧妙無關。把問題重述為一個計數問題：每個特徵值貢獻其特徵子空間的維數，而你需要這些維數加起來等於 n。本篇餘下部分將把這一計數變得精確。
跨特徵值的獨立性
一條關鍵引理：屬於不同特徵值的特徵向量自動線性無關。因此不同 lambda 的特徵子空間只在零向量處相交——它們的和是直和。這意味著你只需把每個特徵子空間的一組基拼接起來，就能搭出全局候選基；任何來自某個空間的特徵向量都不可能是其他空間向量的隱藏組合。
乾淨陳述的判據
現在給出完整的對角化判據：在代數閉域上，算子可對角化當且僅當每個特徵值的幾何重數等於代數重數。等價地，各特徵子空間的維數之和為 n——你有足夠的特徵向量填滿一組基。互異特徵值的捷徑，不過是每個重數都為 1 的情形。
- 透過分解特徵多項式，找出所有特徵值及其代數重數。
- 對每個 lambda 計算 dim E_lambda；若對每個特徵值都等於其代數重數，則 A 可對角化。
- 拼接各特徵子空間的基構成 P，把特徵值放入 D，驗證 A = P D P^-1——這使冪 A^k = P D^k P^-1 變得輕而易舉。