譜是什麼
有限維算子的譜，就是它全部特徵值的集合，每個都是特徵多項式的根。（在無限維中定義會擴展，你將在算子專題中遇到；這裡，譜 = 特徵值集合。）把特徵值作為整體而非逐個對待，正是讓你一眼總覽算子的關鍵。
把譜想成算子的指紋：它在換基下保持不變，因為相似矩陣 A 與 P^-1 A P 共享同一個特徵多項式，從而擁有相同的特徵值。兩個在紙面上看似截然不同的矩陣，可能攜帶完全相同的譜——而接下來的兩節將展示，這一枚指紋已經釘死了 A 的多少行為。
跡與行列式免費得到
A 的兩個不變量編碼在譜中。把每個特徵值按其代數重數計入，則跡是特徵值之和，行列式是它們之積。因此跡與行列式不過是譜的首個與末個對稱函數——把韋達公式用於特徵多項式而已。
A = [2, -1; 1, 4]
characteristic poly:
det(A - x I) = (2 - x)(4 - x) - (-1)(1)
= x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
spectrum = {3, 3} (lambda = 3, algebraic mult 2)
check via Vieta:
trace(A) = 2 + 4 = 6 = 3 + 3 = sum of eigenvalues OK
det(A) = 2*4 - (-1)*1 = 9 = 3*3 = product of eigenvalues OK譜真的存在嗎？實數對複數
一個實矩陣可能完全沒有實特徵值——90 度旋轉 [0, -1; 1, 0] 的特徵多項式是 x^2 + 1，沒有實根。補救之道是在 C 上工作：根據代數基本定理，每個 n 次多項式都可分解，於是在 C 上一個 n x n 矩陣總恰有 n 個特徵值（計重數）。實譜可能為空；複譜絕不會。
有一個數概括譜的大小：譜半徑，即譜中最大的 |lambda|。它支配長期行為——A^k 保持有界，當且僅當譜半徑不超過 1（在等於處需謹慎）——並將在第五篇的冪迭代故事中作為收斂速率重現。