從特徵值到特徵理論：兩種重數

第一卷止步之處

在第一卷中，你把特徵值 lambda 當作特徵多項式 det(A - lambda I) 的根來求，再解 (A - lambda I)v = 0 得到特徵向量。這套方法可行，但它掩蓋了一處微妙之處：單個 lambda 可能擁有許多個獨立特徵向量，也可能出奇地少。特徵理論研究的正是究竟有多少個，以及這個數字告訴你算子的什麼性質。

暫且把 lambda 的根結構放一邊，最乾淨的追蹤對象不是特徵值本身，而是它所固定（至多差一個縮放）的整個向量空間。那個空間就是特徵子空間，把特徵向量打包成一個子空間，正是把臨時計算變成一套理論的關鍵一步。

作為核的特徵子空間

固定一個特徵值 lambda。特徵子空間 E_lambda 恰好是 (A - lambda I) 的零空間：其中每個非零向量都是特徵向量，再納入零向量，它就成為一個真正的子空間。因此特徵子空間繼承了你對核的全部認識——維數、基、秩-零化度定理。

A = [4, 1; 0, 4]            # 2x2, lambda = 4 is the only eigenvalue

characteristic poly: det(A - x I) = (4 - x)^2
  -> lambda = 4 appears with multiplicity 2 as a ROOT

eigenspace E_4 = null(A - 4I) = null([0, 1; 0, 0])
  (A - 4I) v = 0  =>  v = (t, 0)
  basis: { (1, 0) }      -> dim E_4 = 1

So: root appears twice, but only 1 independent eigenvector.

一個 2x2 例子：特徵值是二重根，但特徵子空間卻是一維的。

代數重數與幾何重數

每個 lambda 上附著兩個不同的計數。代數重數是 (x - lambda) 整除特徵多項式的次數——即它作為根的重數。幾何重數是 dim E_lambda——你實際得到的獨立特徵向量個數。上面的例子代數重數為 2，幾何重數為 1。

計算特徵方程 det(A - x I) = 0 並分解；每個 (x - lambda) 上的指數就是該特徵值的代數重數。
對每個 lambda，將 (A - lambda I) 做列化簡並數自由變數；這個數就是 dim E_lambda，即幾何重數。
對每個特徵值比較兩者。任何差距（幾何 < 代數）都預示對角化的麻煩，第三篇會把它變成精確的判據。