把測量向後拉
取 線性變換 T: V -> W。再抓一個目標上的測量 g ∈ W*。你可以構造源上的測量：先作用 T，再作用 g，複合 g∘T 就是 V 上的泛函。規則 g -> g∘T 就是 T 的 線性映射轉置，記作 T*: W* -> V*。關鍵在於它與 T 方向相反。
為什麼這就是「那個」轉置
為 V、W 選基，為 V*、W* 選對偶基。把 T 寫成 矩陣 A。那麼 T* 在對偶基下的矩陣恰好是 A^T——就是你在第一卷學過的普通 矩陣轉置。於是那個神秘的「沿對角線翻折矩陣」操作，真正含義是「同一個映射，作用在測量而非向量上」。無座標的定義解釋了這套記帳一直以來的真意。
Check (T*g)(v) = g(Tv) in coordinates.
T: R^2 -> R^2, A = [ 2 1 ; 0 3 ].
Take g = row [1 4] in W*.
Left: T*g = g composed with T = (row g)*(matrix A)
= [1 4] * [2 1; 0 3] = [2 13] (a row in V*)
Then (T*g)(v) for v=[5;1]: [2 13]*[5;1] = 10+13 = 23.
Right: Tv = A*[5;1] = [11; 3]. g(Tv) = [1 4]*[11;3] = 11+12 = 23.
Equal ✓. And note: T*g = [1 4]*A, i.e. the matrix of T* acting
on rows is A^T acting on columns.回報：列秩 = 行秩
轉置透過 核-像對偶 聯結核與零化子：ker(T*) = (im T)^0 且 im(T*) = (ker T)^0。用零化子定律數維數，得到 轉置的秩 = rank(T*) = rank(T)。由於 rank(T) 是列秩、rank(T*) 對應行秩，這就證明了你在第一卷照單全收的事實：矩陣的列 秩 等於它的行秩。