零化子：從對偶一側看子空間

子空間的零化子

設 W 是 V 的子空間。它的零化子（記作 W^0）是所有殺死 W 中每個向量的泛函之集合：W^0 = { f ∈ V* : 對所有 w ∈ W 有 f(w) = 0 }。它本身是一個子空間——屬於 V*，而非 V。可以把它想成「所有看不見 W 的測量」。

維數定律

這條定理很乾淨：dim W + dim W^0 = dim V。子空間越大，能盲目零化它的泛函就越少。若 W 是 R^3 中的一條直線（維數 1），它的零化子就是泛函組成的一張平面（維數 2）。這就是零化子對偶定理，是秩-零化度定理在對偶空間中的孿生兄弟。

取 W 的一組基 w1, ..., wk，將其擴充為整個 V 的基 w1, ..., wk, u1, ..., um。
取對偶基。對偶於諸 u 的泛函在每個 w 上為零——故它們落在 W^0 中。
那 m 個泛函構成 W^0 的一組基，故 dim W^0 = m = dim V - dim W。

實例與前瞻

V = R^3.  W = span{ (1,2,0) }  (a line, dim 1).
W^0 = { rows [a b c] : a*1 + b*2 + c*0 = 0 } = { a + 2b = 0 }.

Solve: a = -2b, c free.  Basis of W^0:
   f1 = [-2  1  0]   (b=1, c=0)
   f2 = [ 0  0  1]   (b=0, c=1)

dim W^0 = 2,  dim W = 1,  sum = 3 = dim V.  ✓
Geometrically: f1=0 and f2=0 are two planes whose
intersection is exactly the original line W.

一條一維直線，正是一個二維泛函空間的公共零點集。

你很快會遇到兩個相關事實：單個非零泛函切出一張超平面（一個把子空間擺到一側的分離泛函），而零化子 W^0 自然就是商空間的商的對偶 (V/W)*。零化子是把「V 的子空間」翻譯成「V* 的子空間」的詞典。