座標其實是偽裝的泛函
固定 V 的一組 基 e1, ..., en。每個向量都有唯一的 座標向量：v = c1·e1 + ... + cn·en。現在問：「第 i 個座標」是什麼對象？把 v 送到 ci 的映射 e^i 是線性的——所以它是一個 線性泛函，是 V* 中的元素。讀出一個座標就是一次測量。
這 n 個泛函 e^1, ..., e^n 就是 對偶基。它們由一條乾淨的規則定死：當 i = j 時 e^i(ej) = 1，否則為 0。換句話說，第 i 次測量在第 i 個基向量上讀出 1，忽略其餘。上標（餘向量）與下標（向量）的記帳方式，正是 協變與逆變 的核心。
維數相同，卻沒有典範聯繫
由於對偶基恰有 n 個元素，V* 與 V 有相同的 維數（當 V 有限維時）。因此 V 與 V* 作為抽象空間同構。但微妙之處在於：同構 v_i -> e^i 依賴於你所選的基。換一組基，這種對應就變了。不存在自然的、與基無關的同構 V -> V*。記住這一點——它會在第 5 篇強勢回歸。
計算對偶基
Basis of R^2 (non-standard):
v1 = [1; 1], v2 = [1; -1]
Want covectors f1, f2 (rows) with f_i(v_j) = delta_ij.
Stack v1,v2 as columns: B = [1 1; 1 -1]
Dual basis rows are the ROWS of B^-1.
B^-1 = (1/-2) [ -1 -1; -1 1 ]
= [ 1/2 1/2 ; 1/2 -1/2 ]
So f1 = [1/2 1/2], f2 = [1/2 -1/2]
Check: f1(v1) = 1/2 + 1/2 = 1, f1(v2) = 1/2 - 1/2 = 0 ✓注意 逆矩陣 的出現：當基向量按矩陣 B 變換時，它們的對偶泛函按 B^-1（轉置）變換。向量與餘向量對基變換的反應方向相反——這正是物理學家區分協變與逆變指標的原因。