第一卷遺漏了什麼
第一門課程研究 向量、基 以及空間之間的 線性變換。但有一種變換它通常一筆帶過：吃進一個向量、吐出一個數的映射。向量空間 V 上的 線性泛函 是一個線性映射 f: V -> F，把向量送進純量域。它不會把你搬到另一個向量——它測量你。
線性意味著 f(au + bv) = a·f(u) + b·f(v)。這就是全部規則。與固定向量作 點積 是其原型：在 R^3 中，f(x) = 3x1 - x2 + 2x3 就是一個泛函。「讀出第二個座標」也是；在矩陣空間上「取跡」也是；在函數空間上「從 0 積到 1」也是。
泛函構成一個空間
把兩個泛函逐點相加、對泛函作數乘——結果仍是泛函。於是 V 上所有線性泛函構成的集合本身是一個 向量空間，稱為 對偶空間，記作 V*。它的「向量」就是測量。為強調對比，我們把 V* 中的元素叫做 餘向量：向量是被測量的對象，餘向量負責測量。
非零泛函的零位面 f = 0 是過原點的 超平面——一個比整個 V 少一維的子空間。每個泛函本質上都在問「你越過這張超平面多遠，以固定步長計」。這種幾何圖景，正是列向量永遠說不清的。
一個泛函實例
V = R^3, functional f(x) = 3*x1 - 1*x2 + 2*x3
As a row vector: f = [ 3 -1 2 ]
Apply to column: v = [ 4 ; 5 ; 1 ]
f(v) = [3 -1 2] * [4; 5; 1]
= 3*4 + (-1)*5 + 2*1
= 12 - 5 + 2 = 9
Hyperplane f = 0: 3x1 - x2 + 2x3 = 0 (a plane through origin)
Level f = 9 is the parallel plane that v sits on.注意形狀：泛函寫成列，向量寫成行，列乘行的 矩陣乘法 把你送進 F。這種排版上的不對稱並非偶然——它是 V 與 V* 屬於不同類型對象的第一個提示，也是本主線的主題。