從伴隨讀出克拉默法則
由 A * adj(A) = det(A) I，只要 det(A) != 0，就得到顯式逆 A^-1 = adj(A)/det(A)。用於 Ax = b：x = A^-1 b，其第 i 個分量化為克拉默法則：x_i = det(A_i)/det(A)，其中 A_i 是把 A 的第 i 行換成 b 所得。每個未知量都是兩個行列式之比——閉式解，無需消元。
還有一個漂亮的體積證明：把 A 的第 i 行換成 b = sum x_j c_j。由多重線性，det(A_i) = sum_j x_j det(..第 i 行為 c_j..)。j != i 的每一項都有重複行而消失；只有 j = i 倖存，給出 det(A_i) = x_i det(A)。相除即可——多重線性與交替性包辦了一切。
算子的行列式
線性變換 T: V -> V 有許多矩陣，每個基一個，彼此由基變換 B = P^-1 A P 相聯。由乘法性，det(B) = det(P^-1) det(A) det(P) = det(A)，因為 det(P^-1) det(P) = 1。這個數與基無關，故可把算子的行列式 det(T) 定義為表示它的任意矩陣的行列式。
這使 det 成為 T 的真正不變量，與跡並列。特徵值之積等於 det(T)，特徵值之和等於跡——這就是det-跡恆等式，可直接從特徵多項式讀出，分別是其常數項與（帶符號的）次高項係數。
三個著名行列式
理論給出乾淨的公式。節點 x_1,...,x_n 的范德蒙德行列式等於 i<j 上 (x_j - x_i) 的連乘；它非零當且僅當節點互異，這正是多項式插值有唯一解的原因。朗斯基行列式是函數及其各階導數所成矩陣的行列式；非零的朗斯基行列式證明微分方程的解線性無關。
Vandermonde (3 nodes):
V = det[1 x1 x1^2; 1 x2 x2^2; 1 x3 x3^2]
= (x2 - x1)(x3 - x1)(x3 - x2)
zero <=> two nodes coincide <=> columns dependent
Wronskian of f, g at a point:
W = det[f g ; f' g'] = f*g' - f'*g
W != 0 somewhere => f, g linearly independent終極回報：為何頂形式存在
退一步看。我們假設歸一化交替多重線性形式存在且唯一——但為何這類形式的空間恰好是一維的？結構性的答案是頂外冪。n 維 V 上交替 n-形式的空間是頂外冪 Lambda^n(V) 的對偶，而 dim Lambda^n(V) = C(n,n) = 1。一維空間至多差一個比例只有一個非零元——這就是第 2 篇的唯一性，如今被解釋，而不僅是被證明。
從這一高度，整條主線豁然貫通。算子 T 在一維 Lambda^n(V) 上誘導一個映射；一維空間上的線性映射就是一個純量——而該純量恰是 det(T)。乘法性化為函子性 Lambda^n(ST) = Lambda^n(S) Lambda^n(T)。行列式不是硬塞進矩陣的巧妙公式；它是唯一的頂維體積形式，你證過的每條法則都是它的投影。