det(AB) = det(A) det(B)，幾乎免費
det 的乘法性是最深刻的行列式恆等式，但唯一性使它幾乎成了一行話。固定 B，定義 f(A) = det(AB)。驗證 f 作為 A 各行的函數是多重線性且交替的（因為右乘 B 是線性的且保持行相等關係）。故由唯一性 f(A) = c * det(A)，其中常數 c = f(I) = det(B)。所以 det(AB) = det(A) det(B)。
兩條推論立刻得出。若 A 可逆，det(A) det(A^-1) = det(I) = 1，故 det(A^-1) = 1/det(A)。且 det(A) = 0 當且僅當 A 奇異——體積坍縮當且僅當映射不可逆。第 3 篇的體積圖像讓兩者都顯得理所當然。
det(A^T) = det(A)
由萊布尼茨公式，det(A) = sum_sigma sgn(sigma) prod_j a_{sigma(j), j}。在轉置中，(i,j) 元變為 a_{ji}，故 det(A^T) = sum_sigma sgn(sigma) prod_j a_{j, sigma(j)}。用 tau = sigma^-1 對每個乘積重新編號：乘積作為因子集合不變，且 sgn(sigma) = sgn(sigma^-1)。對 sigma 求和等同於對 tau 求和，故兩個求和相等。因此 det(A^T) = det(A)。
這正是第 1 篇承諾的定理：我們關於行證明的一切，對列逐字成立。列運算對 det 的影響與相應行運算完全相同。
拉普拉斯展開與餘子矩陣
按第 i 列中是哪個元素來歸類萊布尼茨求和。含 a_ij 的項提出 a_ij，乘以固定該選擇的置換之和——它至多差一個符號 (-1)^{i+j}，即刪去第 i 列第 j 行所得 (n-1)x(n-1) 餘子式 M_ij 的行列式。定義餘子式 C_ij = (-1)^{i+j} det(M_ij)。則 det(A) = sum_j a_ij C_ij：這就是沿第 i 列的拉普拉斯展開，現在是導出的，而非欽定的。
把餘子式裝配成餘子（伴隨）矩陣：adj(A) = (C_ij)^T，即餘子式陣列的轉置。關鍵恆等式是 A * adj(A) = det(A) * I。對角元是拉普拉斯展開；非對角元是含重複列矩陣的展開，由交替法則為 0。這一恆等式為第 5 篇的逆公式與克拉默法則鋪路。
3x3 cofactor expansion along row 1: det(A) = a11*C11 + a12*C12 + a13*C13 C11 = +det[a22 a23; a32 a33] C12 = -det[a21 a23; a31 a33] C13 = +det[a21 a22; a31 a32] Adjugate identity (the off-diagonal zeros are the magic): A * adj(A) = det(A) * I => if det(A) != 0: A^-1 = adj(A) / det(A)