交替即反對稱
先來一條關鍵引理。若 det 是多重線性且交替的，則交換兩行會改變符號。證明：考慮 det(.., u+v, .., u+v, ..)，它為 0（行重複）。用多重線性展開成四項；含重複行的兩項消失，餘下 det(.., u, .., v, ..) + det(.., v, .., u, ..) = 0。故交換取負。所以交替 ⇒ 反對稱。
這一次符號翻轉是一切的引擎。行的任何重排都是若干次交換的序列，每次交換把 det 乘以 -1。淨因子只取決於置換的奇偶性——這正是置換的符號 sgn(sigma)：偶數次交換取 +1，奇數次取 -1。
把行在基上展開
現在導出顯式公式。把每一行在標準基下寫出：c_j = sum_i a_ij e_i。把全部 n 行代入 det，用多重線性把每個求和提到最前。得到對每行各選一個基下標的所有選法的巨大求和。任何重複某個基向量 e_i 的選法貢獻為 0（交替）。倖存者恰是把每個 e_i 命中一次的選法——即置換。
每個倖存項是若干元素 a_{sigma(j), j} 的乘積，乘以 det(e_{sigma(1)}, ..., e_{sigma(n)})。由交換法則和 det(I) = 1，最後這個 det 等於 sgn(sigma)。匯總即得萊布尼茨公式：det(A) = 對 sigma 求和 sgn(sigma) * 連乘_j a_{sigma(j), j}。注意三條法則各用了恰好一次——多重線性用於展開，交替用於消去重複，歸一化用於求 det(I)。
n = 2: permutations of (1,2) are id and the swap.
det = sgn(id)*a11*a22 + sgn(swap)*a21*a12
= (+1)*a11*a22 + (-1)*a21*a12
= a11*a22 - a12*a21 (the a*d - b*c you know)
n = 3: 6 permutations, 3 with sgn +1, 3 with sgn -1:
det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
- a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33
General: det(A) = sum_{sigma in S_n} sgn(sigma) * prod_j a_{sigma(j), j}唯一性，及其重要性
整個推導從未做選擇：僅從三條法則出發，我們就被逼到萊布尼茨求和。所以至多有一個函數滿足全部三條——這就是行列式的唯一性。而萊布尼茨公式顯然滿足它們，故存在性也成立。結論：行上恰有一個歸一化的交替多重線性形式，我們稱之為 det。
唯一性是一種證明技巧，不只是一個事實。要證明兩個複雜表達式都等於 det，無需逐項比對——只需驗證各自是多重線性、交替的，並在單位陣上取 1。我們會反覆兌現這一點：幾乎不用計算就能證明 det(A^T) = det(A) 與乘法法則。