第一卷未解釋的部分
你已經會算行列式了：沿某一列展開，或化為三角形後把主元相乘。但為什麼交換兩行會改變符號？為什麼乘積的 det 等於 det 的乘積？第一卷給了法則，卻沒說它們從何而來。誠實的答案是：所有這些法則都源自三條簡單性質——而任何具備這三條性質的函數都必然等於行列式。
視角的轉變雖小卻決定一切。別再把矩陣 A 當成數字方格，而要把它看作其行向量的一個列表：A = [c_1, c_2, ..., c_n]。於是 det 成為 R^n 中 n 個向量的函數 det(c_1, ..., c_n)，返回一個純量。
對函數的三個要求
三條性質如下。（1）多重線性：固定其餘行，det 關於每一行分別是線性的。（2）交替性：若有兩行相等，則 det = 0。（3）歸一化：det(I) = 1，即標準基向量的 det 為 1。這就是全部定義。記住這三行，本系列其餘部分都在展開它們。
對多個向量自變量各自線性的函數稱為多重線性映射；在自變量重複時取零的稱為交替多重線性形式。所以口號是：行列式是行上的交替多重線性形式，歸一化使單位陣取 1。
Multilinearity, column j scaled and added: det(.., a*u + b*v, ..) = a*det(.., u, ..) + b*det(.., v, ..) Alternating, two equal columns: det(.., w, .., w, ..) = 0 Normalization: det(e_1, e_2, ..., e_n) = det(I) = 1 Quick check in 2x2 with [a c; b d] = [col1 col2]: det([a,b], [c,d]) and the three rules will force det = a*d - b*c (shown in Guide 2).
為何是這三條？幾何預覽
這些法則並非隨意——它們正是有向體積的法則。把平行六面體的一條稜拉伸 a 倍，體積也乘以 a（線性性）。有兩條相同稜的盒子是扁的，體積為零（交替性）。單位立方體體積為 1（歸一化）。我們將在第 3 篇把這一點充分展開為作為有向體積的行列式。
有一個直接推論值得現在就看。若各行線性相關，則 det = 0。理由：相關的那一行是其餘行的線性組合；用多重線性展開成若干 det 之和，每項都含重複行，由交替法則全為零。所以 det 能檢測線性無關性——扁盒子沒有體積。