線性動力系統與矩陣指數

兩種時鐘：離散步進與連續流動

線性動力系統有兩種風味。離散時間：x_{t+1} = A x_t，於是 x_t = A^t x_0——正是第 2 篇的馬可夫鏈迭代，只是去掉了機率約束。連續時間：dx/dt = A x，其解為 x(t) = e^{At} x_0，用到了矩陣指數。兩者都由 A 的特徵值主宰。

對角化把系統解耦

若 A = Q Lambda Q^{-1} 是可對角化的，就用 y = Q^{-1} x 換到特徵基座標。耦合系統變成 n 個獨立的純量方程：dy_i/dt = lambda_i y_i，每個的解是 y_i(t) = e^{lambda_i t} y_i(0)。於是矩陣指數變得平凡：e^{At} = Q diag(e^{lambda_1 t}, ..., e^{lambda_n t}) Q^{-1}。

# Coupled springs / two tanks: dx/dt = A x with
#   A = [ -2 ,  1 ;
#          1 , -2 ]
# eigenvalues:  lambda_1 = -1 ,  lambda_2 = -3   (both negative)
# eigenvectors: q1 = (1, 1)/sqrt2 ,  q2 = (1,-1)/sqrt2
# general solution:
#   x(t) = c1 e^{-1 t} q1  +  c2 e^{-3 t} q2
# both modes decay -> x(t) -> 0 .  The system is STABLE.

每個特徵值都是一個獨立的衰減（或增長）模式。

僅憑特徵值就能判定穩定性

既然每個模式都形如 e^{lambda_i t}（連續）或 lambda_i^t（離散），穩定性就直接從譜上讀出。複特徵值 alpha +/- i*beta 帶來頻率為 beta 的振盪、包絡為 e^{alpha t}；決定增長還是衰減的是實部。

連續型 dx/dt = A x：穩定當且僅當每個特徵值的實部 < 0（左半平面）。
離散型 x_{t+1} = A x_t：穩定當且僅當每個特徵值滿足 |lambda| < 1（在單位圓內）。
臨界情形恰好落在邊界上；只要有一個特徵值越過邊界，系統就會發散。