特徵向量與特徵值

只被拉伸的方向

想像一個變換作用在平面上。幾乎每一支箭頭都被旋轉得偏離了原來所在的那條線。但對於某些特殊方向，箭頭仍留在自己那條線上，只是變長、變短或翻轉。這樣的方向就是一個 特徵向量，而那個告訴它縮放了多少的數，就是它的 特徵值，記作 lambda。

A * v = lambda * v

the matrix A acting on v
gives the SAME direction v,
just scaled by the number lambda

用特徵方程把它們找出來

把 A*v = lambda*v 改寫成 (A - lambda*I)*v = 0。要讓某個非零的 v 被壓成零，矩陣 (A - lambda*I) 就必須壓垮空間——也就是說它的 行列式 為零。令 det(A - lambda*I) = 0，就得到 特徵多項式，它的根就是特徵值。

1. 從 A = [[2,1],[0,3]] 開始，構造 A - lambda*I = [[2-lambda,1],[0,3-lambda]]。
2. 取行列式：(2-lambda)(3-lambda) - 1*0 = (2-lambda)(3-lambda)。
3. 令它為 0；根是 lambda = 2 與 lambda = 3——這兩個就是特徵值。
4. 對 lambda = 2，解 (A - 2I)*v = 0 得到特徵向量 (1,0)；對 lambda = 3，得到 (1,1)。

一句老實話：並非每個矩陣都有實特徵向量

特徵向量是那些仍留在自己那條線上的方向。而純旋轉會把每一個方向都甩離它的線——這正是旋轉的全部意義。所以在實數範圍內，旋轉根本沒有特徵向量，它的特徵多項式也沒有實根。

rotation by 90 degrees: A = [[0,-1],[1,0]]
det(A - lambda*I) = lambda^2 + 1 = 0
no real solution (roots are imaginary)
=> no real eigenvector