線性無關：沒有多餘的向量

什麼時候一個向量是多餘的？

如果一個向量是其他向量的 線性組合——你已經能用手頭向量的縮放與相加湊出它——那它就是多餘的。看 (1,0)、(0,1) 和 (2,3)。第三個是多餘的，因為 (2,3) = 2*(1,0) + 3*(0,1)。它沒帶來新方向，只是重複前兩個已經 張成 的東西。

當一組向量裡沒有一個是多餘的——每個向量都指向其他向量到不了的地方——這組就是 線性無關 的。只要有一個是多餘的，這組就是相關（線性相關）的。

只有零的測試

一個一個檢查太慢。標準測試是這樣：向量 v1, ..., vk 無關，當且僅當讓 c1*v1 + ... + ck*vk = 0 的唯一辦法是每個係數 c 都取 0。如果存在不全為零的係數也能湊出零，你就能把某個向量用其餘向量解出來——它就是多餘的。

1. 把組合 c1*v1 + ... + ck*vk = 0 寫成方程組 A*c = 0，把這些向量作為 A 的各列（直行）。
2. 用消元法求解。
3. 若 c = 0 是唯一解，則該組無關；若還有別的解，則相關。

一個小小的算例

v1 = (1, 2)   v2 = (2, 4)
c1*v1 + c2*v2 = 0
  c1 +  2 c2 = 0
2 c1 +  4 c2 = 0
-> row 2 is just 2 * row 1
-> c1 = -2 c2 works for ANY c2
-> e.g. c1 = -2, c2 = 1 gives 0
=> DEPENDENT (v2 = 2 * v1)