四個基本子空間

一個矩陣生出四個空間

一個 m 列 n 行的矩陣 A 交給你四個子空間。兩個住在輸入側（在 R^n 裡）：列空間（橫列空間）（各橫列的張成）和零空間（被 A 送到零的一切）。兩個住在輸出側（在 R^m 裡）：行空間（直行空間）（各直行的張成，輸出真正落在那裡）和左零空間（轉置 A^T 的零空間）。

秩-零化度把它們綁在一起

四個大小都來自一個數，秩 r。行空間（直行空間）與列空間（橫列空間）維數都是 r——這正是「橫列秩等於直行秩」換了頂帽子。輸入側，秩-零化度給出零化度 = n - r。輸出側，左零空間維數是 m - r。知道 r、m、n，你就知道全部四個。

A is m x n with rank r:
  row space      dim = r       (in R^n)
  null space     dim = n - r   (in R^n)
  column space   dim = r       (in R^m)
  left null space dim = m - r  (in R^m)

example: 3 x 4, r = 2
  row=2, null=2 (sum 4 = n)
  col=2, left null=1 (sum 3 = m)

全部四個維數，僅憑 r、m、n 就能讀出。

預告：直角

這四個空間不是隨機擺放的。在輸入側，列空間（橫列空間）與零空間以完美的直角相遇——它們是正交補。A 的每一橫列都垂直於 A*x = 0 的每個解，這不過是把 A*x = 0 逐列重述：每一橫列與 x 的點積都是零。它們一起填滿整個 R^n，毫無剩餘。