正交性與標準正交基

垂直 = 點積為零

正交 是「垂直」的成熟說法，而它的判據是整個線性代數裡最乾淨的一個：兩個向量正交，當且僅當它們的點積為零。不用量角度，不用畫圖——只需做一次算術檢驗。

(2,1) dot (-1,2) = 2*(-1) + 1*2 = -2 + 2 = 0
--> these two vectors are orthogonal

為什麼直角攜帶獨立資訊

當各個方向互相正交時，誰都不會滲進別人那裡。沿東西軸移動，你的南北座標紋絲不動。這正是地圖採用垂直座標軸的原因：每條軸報告的，是另一條軸無法報告的東西。傾斜的、不垂直的座標軸當然也能用，但其中一條上的讀數會汙染另一條。

標準正交這一黃金標準

取一組正交方向，再把每個縮放到長度 1。現在它們不僅互相垂直，而且都是單位長度，我們把這一組叫做標準正交基——「正交」對應直角，「標準」對應單位長度。這是人人都夢寐以求的基，因為求座標變得不費吹灰之力：一個座標就是一次點積。

e1 = (1,0)   e2 = (0,1)
e1 dot e2 = 0   (orthogonal)
norm(e1) = 1, norm(e2) = 1   (unit length)
--> e1, e2 form an orthonormal basis

把一組標準正交基作為列堆成一個矩陣，你就得到一個正交矩陣 Q。這樣的矩陣是完美的剛體運動：它旋轉或反射空間，卻不拉伸也不壓縮任何東西，因此長度和角度都被保持。它的逆就是它的轉置——Q^T Q = I——這讓它用起來格外省心。