問題：一組傾斜的基
一組基只要相互獨立就夠了；它不必是垂直的。實踐中，你常常拿到的是一組完全合格、卻很傾斜的基，裡面的向量互相倚靠。它們仍然張成整個空間，但座標很彆扭，重疊也攪亂了圖景。我們更想要的是標準正交的黃金標準。
減去重疊，再歸一化
訣竅就是上一篇裡純粹的投影。把第一個向量留作你的第一個方向。對第二個向量，問一句：它已經有多少分量沿著第一個方向？把那部分投影減掉，剩下的誤差就垂直於第一個方向——正是我們想要的。對每個新向量重複此法，減去它與此前已固定的每個方向的重疊。
- 令 u1 = v1（保留第一個向量的方向）。
- 令 u2 = v2 - proj_u1(v2)：減去 v2 與 u1 的重疊。
- 繼續下去：每個新的 u 都減去它在所有更早的 u 上的投影。
- 最後把每個 u 除以它的範數，使其成為單位長度：q = u / norm(u)。
v1=(1,1), v2=(2,0)
u1 = (1,1)
proj_u1(v2) = ((u1 dot v2)/(u1 dot u1)) * u1
= (2/2)*(1,1) = (1,1)
u2 = v2 - (1,1) = (1,-1)
check: u1 dot u2 = 1*1 + 1*(-1) = 0 (perpendicular!)
q1 = (1,1)/sqrt(2), q2 = (1,-1)/sqrt(2)這就是 QR 裡的 Q
Gram-Schmidt 不只是一道整潔的練習——它是一座工廠。把它跑在一個矩陣 A 的列上，你得到的標準正交向量就成為正交矩陣 Q 的列。「減掉了多少、又重新縮放了多少」這些帳目，自己記錄在一個上三角矩陣 R 裡，於是 A = Q R，這就是 QR 分解。