點積：長度與角度

公式，以及它的直覺

到目前為止，向量一直是可以相加和縮放的箭頭。點積 是第一個能比較兩個箭頭、並返回一個數字告訴你它們有多指向同一方向的工具。配方很簡單：對應座標相乘，再全部加起來。

u = (3,4)   v = (1,2)
u dot v = 3*1 + 4*2 = 3 + 8 = 11

點積是一個更一般想法的日常版本——內積，也就是任何把兩個向量相乘成一個數的合理方式。對平面或空間裡的普通箭頭來說，「內積」和「點積」是同一回事。

讀懂符號

最有用的一個習慣，是在看點積的大小之前先看它的符號。結果為正，表示兩個向量朝同一邊傾斜；結果為負，表示它們指向相反；而結果恰好為零，則表示它們成直角。

(1,0) dot (1,0) =  1   same direction  (+)
(1,0) dot (0,1) =  0   right angle     (0)
(1,0) dot (-1,0)= -1   opposite        (-)

長度與角度由此得出

把一個向量和它自己做點積，會發生一件好事：交叉項消失，剩下的就是各座標的平方和。這個和的平方根，就是向量的長度，也就是它的範數。這不過是披上新外衣的畢氏定理。

v = (3,4)
v dot v = 3*3 + 4*4 = 9 + 16 = 25
norm(v) = sqrt(25) = 5

長度和符號合起來，就是完整的幾何定律：u dot v = norm(u) * norm(v) * cos(theta)，其中 theta 是它們之間的夾角。把它反過來解，你就能僅憑座標還原出夾角——根本不需要量角器。

1. 計算 u dot v（對應座標相乘後相加）。
2. 用「與自身點積」的技巧算出 norm(u) 和 norm(v)。
3. 於是 cos(theta) = (u dot v) / (norm(u) * norm(v))；取反餘弦即得 theta。