矩陣與向量的乘法

矩陣乘向量：混合各行

下面這幅圖能讓一切豁然開朗。要算 A 乘 向量 x，就把 x 裡的數字當作權重，用每個權重去乘 A 的對應行，再把結果加起來。輸出就是 A 各行的一個混合。

[[2,0],[0,3]] * (1,1)
  = 1*(2,0) + 1*(0,3)
  = (2,0) + (0,3)
  = (2,3)

矩陣乘矩陣 = 先做一個，再做另一個

矩陣乘矩陣 不過是把這個想法重複一遍。把兩個矩陣都讀成機器，乘積 A*B 的意思是：先讓向量穿過 B，再穿過 A。這種串聯叫做 複合。所以 A*B 作用在 x 上，等於 A 作用在（B 作用在 x 上的結果）上。

1. 從右往左讀 A*B：B 先發生，A 後發生。
2. 乘積的第 j 行，就是 A 作用在 B 的第 j 行上的結果。
3. 把這些輸出行並肩排好——那就是乘積矩陣。

形狀必須對得上，而且順序很重要

只有當 A 的行數等於 B 的列數時，才能算 A*B：（m 乘 n）乘（n 乘 p）得到（m 乘 p）。中間那兩個數字必須相等，然後被「約掉」。如果它們不相等，乘積根本就不存在。

A=[[0,-1],[1,0]] (rotate)   B=[[2,0],[0,1]] (stretch)
A*B = [[0,-1],[2, 0]]
B*A = [[0,-2],[1, 0]]   <- different!

什麼都不做的矩陣

單位矩陣 I 在對角線上全是 1，其餘全是 0。乘上它，向量或矩陣都原封不動：I*x = x，A*I = A。它就是矩陣世界裡的1——那台什麼都不做的機器。

[[1,0],[0,1]] * (5,7) = (5,7)   <- unchanged