一步步用消元法求解

三種合法的操作

高斯消元 在 增廣矩陣 [A | b] 上操作，只用三種列變換。每一種都會改變方程組的樣子，卻絕不改變它的解——這正是它們被允許使用的全部理由。

1. 交換兩列（給方程重新排序）。
2. 用一個非零數字乘某一列（縮放一個方程）。
3. 把某一列的若干倍加到另一列上（合併方程以消掉一項）。

爬上階梯形

目標是 列階梯形：一座階梯，每一列的首個非零數字都比上一列的更靠右，於是左下角填滿了零。一旦到達，最後一列就直接給出一個未知數。

我們拿上一篇的方程組，寫出它的增廣矩陣，然後清掉第一個主元（第 1 列那個領頭的 2）下方的那一項。

[A|b] = [ 2  1 | 5 ]
        [ 1  3 | 6 ]

R2 -> R2 - (1/2)*R1:
        [ 2  1   | 5   ]
        [ 0  2.5 | 3.5 ]   <- staircase / row echelon form

回代收尾

現在從下往上讀這座階梯。最後一列說 2.5*y = 3.5，所以 y = 1.4。把它代回第一列 2x + y = 5，解出 x。這種自下而上的倒推叫做回代。

row 2:  2.5*y = 3.5  ->  y = 1.4
row 1:  2x + 1.4 = 5  ->  2x = 3.6  ->  x = 1.8

check:  1*1.8 + 3*1.4 = 1.8 + 4.2 = 6  (matches b)