向量棲身的場所
向量空間 就是你所處理的全部向量構成的遊樂場，再配上你已經熟悉的那兩招。讓它成為*空間*的唯一規則：它必須對相加與縮放封閉。把裡面任意幾個向量組合起來，結果仍在裡面——你絕不會一不小心掉出去。
子空間：空間裡的房間
子空間 是坐落在更大空間裡的一個更小的向量空間——就像房間裡的一張平面薄片。關鍵在於：它必須經過原點，因為把任何向量乘以 0 都會落到 (0, 0)，而一個封閉的空間必須包含這個點。經過原點的直線或平面是子空間；錯過原點的則不是。
line through origin: all multiples of (2, 1) -> subspace line NOT through origin: points (2t, 1t + 5) -> NOT a subspace
你其實早已見過子空間，只是沒叫出名字：任何一組向量經過原點的 張成 永遠是一個子空間。所以「張成」與「子空間」是同一塊平直、規矩形狀的兩種看法。
不是箭頭的向量
下面這個驚喜，正是這門學科威力之所在：凡是你能合理地相加與縮放的東西，都是向量。多項式合格——把 2x + 1 與 3x + 4 相加得到 5x + 5，乘以 2 得到 4x + 2。聲波和函數也合格。箭頭從來都只是一幅有用的圖像罷了。
向維度溫和地點頭
一個空間有多大？維度 數的是：你真正需要多少個獨立方向，才能到達其中的一切。一條線是一維，一張平面是二維，你周圍的房間是三維。我們稍後會把它講精確——眼下，只把它當作「你究竟有多少個真正的選擇」來聽就好。
*獨立*這個詞，正指向你上一篇見過的冗餘。剝去每一個冗餘方向，數一數剩下的，你就得到維度。它正是通往這條階梯下一級的完美橋樑。