對稱矩陣與譜定理

矩陣對稱是什麼意思

一個矩陣當它等於自身的轉置時就是對稱的：A = A^T。第 i 列第 j 行的元素等於第 j 列第 i 行的元素。這類矩陣在真實資料出沒的地方隨處可見——共變異數矩陣、距離與相似度表、圖論與物理能量背後的矩陣。

對稱不是裝飾性的細節。它迫使矩陣表現得極為優美，而精確說明這一點的定理就是譜定理。

譜定理說：每個實對稱矩陣的特徵值全是實數，而且你總能找到一整組兩兩正交且單位長度的特徵向量——一組標準正交基。沒有複數，沒有缺失的方向，也沒有彆扭的重根麻煩。把這與一般矩陣對比一下：一般矩陣可能有複特徵值，甚至根本湊不齊足夠的特徵向量。

A = Q*D*Q^T
  Q : columns are orthonormal eigenvectors (Q^T = Q^(-1))
  D : diagonal matrix of the real eigenvalues

因為 Q 是正交矩陣，它的逆就等於它的轉置——這是最乾淨的對角化形式。

當一個對稱矩陣的所有特徵值都嚴格為正時，它就是正定的。幾何上，每個方向都被拉伸、絕不翻轉，於是二次型 x^T*A*x 對非零的 x 永遠為正——一隻朝各個方向都向上彎的碗。共變異數矩陣，以及許多最佳化與物理問題裡的矩陣，都是正定的。