諧振子:以代數擊敗微積分

為何人人在乎諧振子

在任何穩定平衡點附近,位能近似為拋物線——做泰勒展開,主導項是 V\approx\tfrac12 V''x^2。因此物理中每一個小振盪,在一階近似下都是一個諧振子:分子振動、晶體的簡正模(即其聲子),甚至電磁場的各個模。解出這一個系統,就等於解出了物理的一大塊。你已在簡諧運動中見過它的古典版本。

\hat H=\frac{\hat p^{2}}{2m}+\tfrac12 m\omega^{2}\hat x^{2}

量子諧振子的哈密頓量:動能加上角頻率為 \omega 的拋物線位能井。

我們可以把這個 \hat H 代入含時間無關的薛丁格方程式,硬解厄米微分方程式,其解是厄米多項式乘上一個高斯函數。但我們將只用代數就取出每一個能階——狄拉克的升降算符技巧,是物理學中最優雅的論證之一。

升降算符

定義兩個非厄米的升降算符: \hat a(下降)與 \hat a^{\dagger}(上升),它們是 \hat x 與 \hat p 的複數組合。它們幾乎能把哈密頓量因式分解為乘積 \hat a^{\dagger}\hat a——唯一的阻礙就是對易子,它留下一個常數餘項。

\hat a=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x+\frac{i}{m\omega}\hat p\right),\qquad \hat a^{\dagger}=\sqrt{\tfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(\hat x-\frac{i}{m\omega}\hat p\right)

下降與上升算符,作為位置與動量的複數組合。

[\hat a,\hat a^{\dagger}]=1

它們的對易子由 [\hat x,\hat p]=i\hbar 一行推出——這一條關係驅動了一切。

\hat H=\hbar\omega\left(\hat a^{\dagger}\hat a+\tfrac12\right)=\hbar\omega\left(\hat N+\tfrac12\right)

以數算符 \hat N=\hat a^{\dagger}\hat a 表達的哈密頓量;整個問題化約為求 \hat N 的本徵值。

攀爬階梯

能譜現在只靠純粹的算符代數就傾瀉而出——一個積分都不必算。跟著這五步,看能階一一浮現。

假設一階。 設 |n\rangle 滿足 \hat N|n\rangle=n|n\rangle,其中 \hat N=\hat a^{\dagger}\hat a;則 \hat H|n\rangle=\hbar\omega(n+\tfrac12)|n\rangle,故 \hat N 的本徵態就是能量本徵態。
階梯對易關係。 由 [\hat a,\hat a^{\dagger}]=1 得 [\hat N,\hat a]=-\hat a 與 [\hat N,\hat a^{\dagger}]=+\hat a^{\dagger}。因此 \hat N(\hat a|n\rangle)=(n-1)(\hat a|n\rangle): \hat a 下降一階、 \hat a^{\dagger} 上升一階——這正是其名的由來。
必存在最低階。 範數不能為負: \langle n|\hat a^{\dagger}\hat a|n\rangle=n\ge 0。故階梯不能無止境下降;必存在最低態 |0\rangle 滿足 \hat a|0\rangle=0,迫使最底層 n=0。
築起整座高塔。 對 |0\rangle 反覆施加 \hat a^{\dagger},產生 n=0,1,2,3,\dots; \hat N 的本徵值恰好是非負整數,別無其他。
讀出能譜。 E_n=\hbar\omega(n+\tfrac12):無窮多能階,全部以一個量子 \hbar\omega 等間距排列——正是頻率 \omega 的單一光子或聲子的能量。

E_n=\hbar\omega\left(n+\tfrac12\right),\qquad n=0,1,2,\dots

諧振子能譜:與箱的 n^2 階梯不同,這些能階完全等間距。

\hat a\,|n\rangle=\sqrt{n}\,|n-1\rangle,\qquad \hat a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}\,|n+1\rangle

歸一化後的升降作用;反覆施加 \hat a^{\dagger} 便建出 |n\rangle=\dfrac{(\hat a^{\dagger})^{n}}{\sqrt{n!}}\,|0\rangle。

零點能、態,以及通往何方

基態並非零能量: E_0=\tfrac12\hbar\omega,即零點能。這是不確定性原理所要求的——把粒子釘在井底一動不動,需要 x 與 p 同時鋭利地為零,而 \Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2 禁止如此。諧振子只好取一個折衷:在尊重 \Delta x\,\Delta p\approx\hbar/2 的前提下把能量降到最低。

這通往何方?同一套代數在物理各處反覆出現。微擾論處理諧振子的小非諧修正;角動量算符用一模一樣的升降技巧對角化;而在量子場論中,場的每個模都是一個諧振子,由 \hat a^{\dagger} 與 \hat a 產生與湮滅粒子——這是量子電動力學的基礎。由此往前,量子力學二把這套機制應用到氫原子、自旋與散射。