向量與張量微積分：場，以及它如何變化

場與三種微分

一個場為空間中每一點指定一個值。像溫度這樣的純量場指定一個數；像電場或流體速度這樣的向量場指定一支箭頭。向量微積分研究這類場如何逐點變化，全部由單一算符——del 算符 \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z)——構成。

三種組合最重要。純量的梯度 \nabla\phi 指向增加最陡的方向，度量其斜率。向量場的散度 \nabla\cdot\vec{F} 度量它從一點向外擴散的程度——即源或匯的強度。旋度 \nabla\times\vec{F} 度量它的局部旋轉或環流。

以指標記法它們都很精煉：(\nabla\phi)_i=\partial_i\phi、\nabla\cdot\vec{F}=\partial_i F_i、(\nabla\times\vec{F})_i=\varepsilon_{ijk}\partial_j F_k。從列維–奇維塔代數，各一行就能得到兩條恆等式：梯度的旋度為零、旋度的散度為零。

\nabla\times(\nabla\phi)=0,\qquad \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0

這兩條恆等式，正是「無旋場有純量勢、無散場有向量勢」的原因——電磁學的骨幹。

積分定理

局部的變化率，透過兩條偉大的定理與整體的通量相連。散度定理說：散度在一個體積上的總和，等於通過其邊界面向外的淨通量。這正是喬裝的高斯定律。

\int_V (\nabla\cdot\vec{F})\,dV=\oint_{\partial V}\vec{F}\cdot d\vec{A}

散度（高斯）定理：內部所產生的，等於向外流出的。

旋度定理（斯托克斯定理）說：旋度在一個曲面上的積分，等於沿其邊界迴路的環流——這正是安培與法拉第定律的內容。

\int_S (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{A}=\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}

斯托克斯定理：曲面上的旋轉總量，等於沿其邊緣的環流。

曲線座標

卡氏座標很少是自然的選擇。具球對稱的問題——原子、行星、點電荷——呼喚球座標；一條導線或一根管子則要柱座標。這是曲線座標的領域，而換座標不是免費的：距離會伸縮，算符會長出尺度因子。

\nabla^2\phi=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial\phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial\phi}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2\phi}{\partial\varphi^2}

球座標下的拉普拉斯算符。它的繁複是配合對稱性的代價——而分離它的過程，正是勒讓德多項式與球諧函數誕生之處。

張量：向量之外

純量是一個數；向量是三個，每個方向一個。二階張量是九個——每一對方向一個。最好把它想成一部吃進一個向量、吐出另一個向量的機器，通常經過旋轉與縮放。慣量張量把角速度變成角動量；應力張量把一個面的取向變成單位面積的力。

定義張量的，不是那一格格數字，而是當你旋轉座標軸時這些數字如何變換。每個指標帶來一個旋轉矩陣因子。這正是重點所在：寫成「張量 = 張量」的方程，會在每個座標系同時成立，因此能表達一條「不能依賴你選的座標軸」的物理定律。

T'_{ij}=R_{ik}\,R_{jl}\,T_{kl}

二階卡氏張量的變換律：每個指標一個旋轉因子 R。是這條規則、而非那組數字本身，才是定義。