兩條方程
哈密頓量 H(q,p,t) 透過哈密頓正則方程產生運動。它們是整套形式體系跳動的心臟；其對稱性——一條講位置如何變、另一條幾乎鏡像地講動量如何變——並非偶然。
哈密頓方程：2n 條一階常微分方程，每個自由度一對。
留意第二條方程中關鍵的負號——正是它使流成為辛的，而非單純的梯度下降，也是我們將遇見的每一條守恆律的來源。把這一對讀成一條規則：動量把位置往前推；位能的斜率（透過 H）推動動量。
它們從何而來
推導只是一行的一致性檢查。把 H = \sum p_i\dot q_i - L 的全微分用兩種方式寫出。把 H 視為 (q,p,t) 的函數得 dH = \sum(\partial H/\partial q_i\,dq_i + \partial H/\partial p_i\,dp_i) + \partial H/\partial t\,dt。直接對定義求微分，\dot q\,dp 與 p\,d\dot q 項重新整理後，含 d\dot q 的部分因 p_i=\partial L/\partial\dot q_i 而相消。逐項比對係數，並用歐拉—拉格朗日方程 \dot p_i = \partial L/\partial q_i，恰好給出哈密頓方程。
附帶收穫：H 對時間的全變化率只等於它的顯含時項。
範例演算：相空間中的諧振子
取進行簡諧運動的彈簧—質量系統。其動能為 p^2/2m、位能為 \tfrac12 m\omega^2 q^2，故哈密頓量就是兩者之和。讓我們在完全不寫出 \ddot q 的情況下解出它。
諧振子的哈密頓量。
套用正則方程。由 \partial H/\partial p = p/m 與 \partial H/\partial q = m\omega^2 q，可直接讀出兩條一階方程：
諧振子的哈密頓方程。
把第一式求導再代入第二式：\ddot q = \dot p/m = -\omega^2 q——熟悉的簡諧運動方程重現。但相空間觀點給得更多。由於 H=E 為常數，每條軌跡都滿足 p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2 q^2 = E：一個橢圓。狀態永遠繞著這個橢圓循行，掃出固定的面積。
每個能量都是 (q,p) 平面上一圈嵌套的橢圓。
循環座標免費奉送守恆律
形式體系的光彩正在此處。假設某座標 q_i 根本沒出現在 H 中——它被稱為循環（或可略）座標。那麼 \partial H/\partial q_i=0，於是由哈密頓第二式，其共軛動量為常數。你只需掃視 H 中缺了哪些符號，就能發現一條守恆律。
循環座標蘊含一個守恆的共軛動量。
這是諾特定理最樸素的裝扮：對稱化為守恆。平移對稱（H 中無 x）守恆線動量；旋轉對稱（H 中無角度）守恆角動量；時間平移對稱（不顯含 t）守恆能量。每個守恆動量都讓你消去一個自由度，縮小問題規模。