黑洞與經典驗證

史瓦西解

在愛因斯坦 1915 年方程式問世數月內，卡爾·史瓦西找到了第一個精確解——任何靜態、球對稱質量 M（一顆恆星、行星、太陽）外部真空的幾何。在慣用座標下，史瓦西度規寫作：

ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2\!\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2\right)

史瓦西度規：太陽、地球或黑洞的重力場，全在這一行裡。在遠處（r >> r_s）它平滑地化為平坦的閔可夫斯基空間。

一切都由一個長度所控制，即史瓦西半徑：

r_s = \frac{2GM}{c^2}

對太陽 r_s 約 3 公里；對地球約 9 公厘。兩者都遠在天體內部，所以不形成視界——真空解只在外部適用。

度規在 r=r_s 處有戲劇性的表現：時間係數消失、而徑向係數發散。若一個質量被完全壓縮到自身的史瓦西半徑之內，那面便成為事件視界——一片單向膜。在它之內，每一個指向未來的光錐都向內傾倒、朝向 r=0；連光都無法爬回來。這個天體就是黑洞。

古典廣義相對論說黑洞是全然漆黑的。這句話並非定論：霍金證明了視界附近的量子效應使黑洞極其微弱地發光（霍金輻射）並緩慢蒸發——這是量子重力前沿的第一絲線索，本冊第二卷的姊妹主題《宇宙學及其他》會接續探討。

牛頓的行星描出一個完全閉合的橢圓，永遠回到同一個近日點。史瓦西測地線加入一個小修正，使橢圓緩慢地旋轉——軌道成為一朵永不完全閉合的玫瑰花結。每繞一圈，近日點進動約為：

\Delta\phi \approx \frac{6\pi G M}{c^2\,a\,(1 - e^2)}

每軌道的相對論性近日點進動，其中 a 為半長軸、e 為離心率。對水星，累計為著名的每世紀 43 角秒。

這是廣義相對論的首場勝利。在扣除所有其他效應（其他行星的拉力、太陽的扁率）之後，水星軌道早已知道有一個無法解釋、每世紀 43″ 的進動。愛因斯坦的公式不含任何可調參數就給出了那個數字——一個真正的事後預言，據說讓他心悸不已。

由於光沿零測地線行進，它掠過質量時也會被偏折。對一束以碰撞參數 b 經過質量 M 的光線，廣義相對論預言的總偏折角為：

\delta\phi = \frac{4GM}{c^2\,b} = \frac{2\,r_s}{b}

廣義相對論的光偏折角——恰為天真的等效原理論證（僅時間曲率）所給值的兩倍，因為對光而言空間曲率貢獻相同。

讓我們真的把數字代入公式，預測掠過太陽邊緣的星光偏折——正是愛丁頓量測的那個量。

備齊常數：G = 6.67\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}、太陽質量 M_\odot = 1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}、c = 3.00\times10^{8}\,\mathrm{m/s}，並取碰撞參數為太陽半徑 b = R_\odot = 6.96\times10^{8}\,\mathrm{m}。
先求太陽的史瓦西半徑：r_s = 2GM_\odot/c^2 \approx 2.95\times10^3\,\mathrm{m}——太陽整個質量「化為長度」，約 3 公里。
接著求偏折：\delta\phi = 2r_s/R_\odot = 2(2.95\times10^3)/(6.96\times10^8) \approx 8.5\times10^{-6} 弧度。
換算為角秒（1\,\mathrm{rad}=206265''）：8.5\times10^{-6}\times206265 \approx 1.75''。這與愛丁頓的量測相符——恰為僅用等效原理所得 $0.87''$ 的兩倍。

第三項經典驗證是重力紅移：重力井越深處的時鐘走得越慢，所以爬出井的光失去頻率、變紅。分別對高度 h 上的弱場（1959 年龐德-雷布卡實驗）與史瓦西幾何中的精確情形：

\frac{\Delta\nu}{\nu} \approx \frac{gh}{c^2}, \qquad \frac{\nu_\infty}{\nu} = \sqrt{1 - \frac{r_s}{r}}

重力紅移。這正是為何 GPS 衛星（其高處的時鐘走得較快）每天必須修正約 38 微秒，才能維持導航精度。

自那時起，廣義相對論通過了向它拋出的每一項檢驗。2015 年 LIGO 直接偵測到重力波——來自黑洞合併、時空中的漣漪，如愛因斯坦方程式一世紀前所預言般準時抵達——而 2019 年事件視界望遠鏡拍到了黑洞的陰影。這套理論可說是物理學中受檢驗最徹底的理論。