測地線：物體如何運動

最直的路徑

在平坦時空中，自由粒子以定速沿直線運動——牛頓第一定律。推廣到彎曲流形上的自然對應物就是測地線：局部最直的曲線，而對有質量粒子而言，是使兩事件之間原時取極大的世界線。愛因斯坦最大膽的一步，是宣告這就是重力下全部的運動律：自由落體即測地線運動。

測地線方程式

以變分法令原時 \tau=\int d\tau 取極值，導出測地線方程式——廣義相對論的運動方程式：

\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}\,\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0

四維加速度為零——但如今「零加速度」包含了那個 Gamma 項，用以計入座標格線的彎曲。

第一項是天真的座標加速度；若只有它，我們就回到了直線。第二項由克里斯多福符號 \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} 構成，是重力的全部內容：它表明當你穿越彎曲（或僅是曲線）幾何時，「直」的概念扭轉了多少。牛頓所稱的重力，被完全重新打包進了這些 \Gamma 之中。

由度規求克氏符號

關鍵在於，你不必猜 \Gamma——它們直接由度規及其一階導數算出。這正是把幾何（g_{\mu\nu}）化為運動的機制：

\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2}\,g^{\lambda\sigma}\!\left(\partial_\mu g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu}\right)

給我度規，我就能磨出每一個克氏符號，接著算出測地線。這就是在廣義相對論中實際預測軌道的方法。

協變導數與平行移動

測地線方程式背後藏著一項更深的工具。在彎曲空間中，向量場的普通導數本身不是一個合格的（張量性）物件，因為基向量逐點改變。補救之道是協變導數 \nabla_\mu，它以一個克氏項修正普通導數：

\nabla_\mu V^\nu = \partial_\mu V^\nu + \Gamma^{\nu}{}_{\mu\lambda}\,V^\lambda

協變導數是「真正」的變化率，它扣除了座標基純粹的扭轉。

這給出了測地線最清晰的圖像。平行移動意指沿一條曲線攜帶向量、並使其「盡可能保持平行」（沿曲線的 \nabla 為零）。於是測地線就只是一條平行移動其自身切向量的曲線——它始終指向正前方。曲率在此戲劇性地現身：在彎曲流形上沿一個閉迴路攜帶向量，它回來時已轉了向。那轉動的大小正是曲率的指紋——即指南 4 的主題。

健全性檢查：回到牛頓

一套新理論在舊理論成立之處必須重現舊理論。取測地線方程式在使牛頓成功的極限下：速度遠小於 c、弱場、且幾何為靜態。於是運動便退回恰好的牛頓自由落體。

慢速意味著四維速度的空間分量遠小於時間分量，所以在求和中只剩 \tfrac{dx^0}{d\tau}\approx c\tfrac{dt}{d\tau} 存活。測地線方程式化簡為 \tfrac{d^2 x^i}{d\tau^2} \approx -\Gamma^{i}{}_{00}\left(\tfrac{dx^0}{d\tau}\right)^2。
對靜態弱場，唯一存活的克氏符號是 \Gamma^{i}{}_{00} \approx \tfrac{1}{c^2}\,\partial_i \Phi，這是把 g_{tt}\approx-(1+2\Phi/c^2)c^2 代入克氏符號公式所得。
既然場既弱且慢，原時 \tau 與座標時間 t 近乎重合，故可將 d\tau\to dt。兩個 c 相消。
結果就是牛頓的運動方程式，其中 -\nabla\Phi 扮演重力加速度 \mathbf g 的角色。

\frac{d^2 x^i}{dt^2} = -\,\partial_i \Phi \;=\; g^i

彎曲時空的測地線運動，在其慢速、弱場極限下含有牛頓重力——正如所要求。