勢與規範自由度：隱藏的對稱性

用四個勢換掉六個場

馬克士威方程組裡有兩條是純結構——不含源。因為處處 \nabla\cdot\mathbf{B}=0，\mathbf{B} 總能寫成一個向量勢 \mathbf{A} 的旋度（旋度的散度自動為零）。把這代入法拉第定律，你會發現 \mathbf{E}+\partial\mathbf{A}/\partial t 的旋度為零，於是它是一個純量勢 \varphi 的梯度（\varphi 推廣了你已熟悉的電位）。

\mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A}, \qquad \mathbf{E} = -\nabla\varphi - \dfrac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}

用純量勢 φ 與向量勢 A 表示的場。這樣一寫，馬克士威方程組裡就有兩條自動成立。

許多個勢，同一套物理

驚喜來了。勢並不唯一。任選一個純量函數 \chi(\mathbf{r},t)，用它平移勢：把 \nabla\chi 加到 \mathbf{A} 上，並從 \varphi 減去 \partial\chi/\partial t。再算一次 \mathbf{E} 與 \mathbf{B}，它們毫無改變——梯度的旋度為零，時間導數相互抵消。這就是一個規範變換。

\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla\chi, \qquad \varphi \rightarrow \varphi - \dfrac{\partial\chi}{\partial t}

規範變換：一個任意函數 χ 把勢重新洗牌，卻不動任何可測量的場。

固定規範

既然這份自由由你支配，就用得聰明些：加上一個能簡化方程式的額外條件。庫侖規範 \nabla\cdot\mathbf{A}=0 讓 \varphi 服從普通的帕松方程式——在靜態問題與定義輻射模態時很方便。勞侖次規範把空間與時間同等對待，是處理輻射與相對論時的自然選擇。

\nabla\cdot\mathbf{A} = 0 \quad(\text{Coulomb}), \qquad \nabla\cdot\mathbf{A} + \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t} = 0 \quad(\text{Lorenz})

兩個常用的規範條件。每一個都用掉規範自由度，以釘死勢。

方程式解耦：達朗貝爾算符

在勞侖次規範裡，美妙的事發生了。那兩條剩下的源方程式，一般會把 \varphi 與 \mathbf{A} 糾纏在一起，如今完全解耦：每個勢各自滿足自己的非齊次波動方程式，由自己的源驅動。出現的波動算符就是達朗貝爾算符 \Box——拉普拉斯算符在時空中的表親。

\Box\,\varphi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \Box\,\mathbf{A} = -\mu_0\mathbf{J}, \qquad \Box \equiv \nabla^2 - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}

在勞侖次規範裡，φ 與 A 各自服從由電荷與電流驅動的波動方程式——正是讓輻射變得一目了然的形式。

這是通往協變理論的門。四個量 (\varphi/c,\mathbf{A}) 綑成單一個四維勢 A^\mu，源 (c\rho,\mathbf{J}) 綑成四維電流 J^\mu，而上面那一對就塌縮成一條相對論式子 \Box A^\mu = \mu_0 J^\mu。這種統一——以顯然協變形式寫出的馬克士威方程組——正是「電磁輻射與協變電動力學」章節的起跑點。