誠實的數字：不確定度、誤差傳播與擬合

散布、平均值，以及平均值的誤差

把一次測量重複 N 次，讀數會散開。真值的最佳估計是平均值 \bar{x}；單次讀數的典型散布幅度是標準差 \sigma。

\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i} x_i, \qquad \sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}

樣本平均值與樣本標準差。分母用 N-1（而非 N）——貝索修正——是為了補償我們用了由同一批數據估出的 \bar{x}。

關鍵在於：\sigma 描述的是單次讀數的散布，不會隨數據增多而縮小。真正會縮小的，是平均值本身的不確定度——平均值的標準誤差。

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}}

平均值的誤差以 1/\sqrt{N} 下降：要把它減半，就得取四倍的數據。這正是實驗要長時間運轉的根本原因。

把誤差推過公式：傳播

你很少直接量到最終的量；你是由好幾個各帶不確定度的量測輸入把它算出來。誤差傳播告訴你結果的不確定度。對於由獨立、互不相關的輸入建構的 f(x,y,\dots)：

\sigma_f^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2 + \cdots

一般的傳播公式：每個輸入的不確定度，都依 f 對它有多敏感——即其偏導數——加權後進入。

f = x \pm y:\ \ \sigma_f = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2} \qquad f = xy\ \text{or}\ x/y:\ \ \frac{\sigma_f}{|f|} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2}

兩個日常特例：對和與差，絕對誤差以平方和相加；對積與商，相對誤差以平方和相加。

一個實作案例：量一個圓柱的體積 V=\pi r^2 h，r=2.00\pm0.02 公分（1\% 誤差），h=10.0\pm0.1 公分（也是 1\%）。則 \sigma_V/V = \sqrt{(2\times1\%)^2 + (1\%)^2} = \sqrt{5}\times1\% \approx 2.2\%——注意半徑算兩倍，因為 V\propto r^2。依有效數字的規矩，應報 V=126\pm3\ \text{cm}^3，而不是十位毫無意義的數字。

擬合模型：最小平方法與卡方

數據最深刻的用途，是擬合一個模型。給定帶誤差棒 \sigma_i 的點 (x_i, y_i) 與帶參數 \theta 的模型 f(x;\theta)，最小平方擬合選取 \theta 使殘差平方的加權和——即卡方——最小化。

\chi^2(\theta) = \sum_{i=1}^{N} \frac{\left(y_i - f(x_i;\theta)\right)^2}{\sigma_i^2}

每個殘差都以 1/\sigma_i^2 加權，因此越精確的點（\sigma_i 越小）把擬合拉得越用力。當誤差為高斯分布時，最小化 \chi^2 就是最大概似估計。

\chi^2_\nu = \frac{\chi^2_{\min}}{N - p}

約化卡方，除以自由度 \nu=N-p（數據點數減去擬合參數數）。它是最主要的擬合優度診斷量。

擬合正是在此與推論相遇：對高斯誤差而言，最小平方就是最大概似估計，而 \chi^2 在其最小值附近的曲率，給出擬合參數的不確定度。一次擬合並不只是穿過數據點的一條線；它是對 \theta 的一次測量，附帶著自己的誤差棒。