過程與 PV 圖：功發生的地方

功就是曲線下方的面積

當氣體以壓力 P 推動、膨脹一極小量 dV 時，它對活塞作了極小的功 dW = P\,dV。把體積變化過程中所有這些薄片加總，氣體所作的總功就是一個積分——在 PV 圖上讀出來，就是路徑下方的面積。

W = \int_{V_i}^{V_f} P\, dV

氣體所作的功等於它在 PV 圖上曲線下方的面積。膨脹（體積增加）給出正功；壓縮給出負功。

有四種特殊過程一再出現，因為每一種都固定住某一樣東西，使它的功容易計算。學會這四種在 PV 平面上的形狀，你就能讀懂任何引擎循環。

等容（定容過程，體積不變）：氣體封在剛性盒中，dV = 0，因此完全不作功。在 PV 圖上是一條垂直線。你加入的所有熱都直接進入內能：\Delta U = Q。

等壓（定壓過程，壓力不變）：氣體在固定壓力下膨脹——想像活塞上壓著固定的重物。在 PV 圖上是一條水平線，功就是壓力乘以體積變化。

W = P\,\Delta V = P\,(V_f - V_i) \quad (\text{isobaric})

在定壓下，路徑下方的面積就是一個矩形：壓力乘以體積變化。

等溫（等溫過程，溫度不變）：氣體藉由與大熱庫接觸而維持固定的 T，因此對理想氣體 \Delta U = 0，每一焦耳進來的熱都以功離開。路徑是一條彎曲的雙曲線（P = nRT/V），積分後給出對數。

W = nRT\,\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) \quad (\text{isothermal, ideal gas})

對理想氣體的等溫膨脹，功隨體積比的自然對數增長；由於 ΔU = 0，吸收的熱恰好等於這份功。

絕熱（絕熱過程，不交換熱）：氣體被隔熱，或變化快到熱來不及流動，Q = 0。此時 \Delta U = -W：氣體只能靠花掉自己的內能來作功，因此膨脹時會變冷。這就是為什麼噴霧罐會變涼、空氣上升時會冷卻。它的路徑比等溫線更陡。

PV^{\gamma} = \text{const}, \qquad TV^{\gamma-1} = \text{const} \quad (\text{adiabatic})

沿絕熱線，壓力與體積遵循由 γ = CP/CV 決定的更陡冪律；由於 Q = 0，所有的功都來自內能，氣體在膨脹時會冷卻。

取 2.0 莫耳理想氣體，維持在 300 K，讓它緩慢膨脹到原體積的兩倍，並保持在該溫度。它作了多少功？又必須有多少熱流入？

W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = (2.0)(8.314)(300)\ln 2 \approx 3.46\times10^{3}\ \text{J}

代入 n、R、T 與體積比 2。ln 2 約為 0.693，得出氣體約作了 3460 J 的功。

Q = \Delta U + W = 0 + 3.46\times10^{3}\ \text{J} \approx 3.46\ \text{kJ}

由於溫度始終未變，理想氣體的 ΔU = 0，因此每一焦耳的功都必須由熱庫流入的熱來供應。

引擎不能永遠膨脹下去；它必須把氣體帶回起始狀態才能再來一次。在 PV 圖上，這意味著描出一個封閉迴圈。在任何一個完整循環中，氣體回到相同的 P、V、T，因此它的內能不變：\Delta U_{\text{循環}} = 0。第一定律於是說：淨吸入的熱等於淨輸出的功。

\oint dU = 0 \ \Rightarrow\ W_{\text{net}} = Q_{\text{net}} = \text{area enclosed by the loop}

對一個封閉循環，氣體所作的淨功等於淨吸收的熱——而在幾何上，它恰好是 PV 圖上迴圈所圍住的面積。