簡諧運動是圓的影子：相位、速度與加速度

參考圓

從側面拿燈照一顆以等速繞圓轉動的球——也就是等速圓周運動。它投在牆上的影子恰好以簡諧運動的方式來回滑動。圓的半徑就是振幅 A，而球穩定的角速度正是我們的 \omega。這就是參考圓，也是一次看懂簡諧運動一切的最快途徑。

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

繞圓點的水平投影。

球所掃過的角度 \omega t + \varphi 就是運動的相位，而 \varphi 是相位常數——球在 t = 0 時的起始角。相位精確告訴你身處週期的哪一處：相位 $0$ 在最右端，\pi/2 正穿過中心，\pi 在最左端，如此繞行一圈。

正確理解角頻率

參考圓終於讓 \omega 變得直觀：它就是相位角前進的快慢，單位是弧度每秒。繞圓一整圈是 2\pi 弧度，恰好花一個週期 T，因此三個量被綁在一起。

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

角頻率把週期與頻率連起來（單位為 rad/s）。

速度與加速度免費奉送

由於 x 是圓周運動的影子，我們只要微分（或直接讀出繞圓球本身的速度與加速度分量）就能得到速度與加速度。

v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)

簡諧運動中的速度。

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x

簡諧運動中的加速度——注意 a = -ω²x 再次出現，印證了定義方程式。

把峰值讀出來：速率的極大是 v_{\max} = A\omega，加速度的極大是 a_{\max} = A\omega^2。而關鍵在於，這些峰值發生在不同的時刻——它們相差四分之一週期。

v_{\max} = A\omega, \qquad a_{\max} = A\omega^2

峰值速率與峰值加速度。

讀懂相位差

位移是餘弦，速度是負正弦，加速度是負餘弦。用相位的語言講，速度領先位移 90°（四分之一週期），而加速度與位移相差 180°——永遠指向相反方向。這一套相位詞彙，正是你日後在交流電路與行進波中會再度用到的。

來個快速演算：一個 2.0 Hz、振幅 5.0 cm 的振子。先求 \omega = 2\pi f = 2\pi(2.0) \approx 12.6 rad/s；再得 v_{\max} = A\omega \approx 0.63 m/s、a_{\max} = A\omega^2 \approx 7.9 m/s²。看單一個數 \omega 如何把振幅轉換成速率與加速度。

\omega = 2\pi f = 4\pi \approx 12.6\ \text{rad/s}, \quad v_{\max} = A\omega \approx 0.63\ \text{m/s}, \quad a_{\max} = A\omega^2 \approx 7.9\ \text{m/s}^2

2.0 Hz、5.0 cm 振子的數值演算。