學以致用：能量、真實氣體與更遠

氣體中儲存的能量

如果每個分子平均攜帶 \tfrac{3}{2}k_BT 的平移動能，那麼整團氣體的內能就只是把它對全部 N 個分子加總。對單原子理想氣體（氦、氬——只有平移運動的單一原子）而言，結果美妙地簡單。

U = N \cdot \tfrac{3}{2} k_B T = \tfrac{3}{2} n R T \quad (\text{monatomic ideal gas})

單原子理想氣體的內能只取決於它的溫度與量——完全與體積或壓力無關。單憑溫度就定下了能量。

這立刻預測了氣體有多難加熱，也就是它的莫耳熱容量。像 N₂、O₂ 這類雙原子氣體會把額外能量儲存在自轉上——多出兩個自由度——所以每升高一度需要更多熱，恰如能量均分所預言。

C_V = \tfrac{f}{2} R,\qquad C_P = C_V + R,\qquad \gamma = \dfrac{C_P}{C_V}

有 f 個自由度時，C_V =（f/2）R：故單原子 C_V =（3/2）R（γ = 5/3），室溫下雙原子為（5/2）R（γ = 7/5 = 1.4）。這些預測值與實測氣體吻合得極好。

範例演練：氦對氮

題目。 一容器盛有氦（M = 4.0 g/mol）與氮（M = 28 g/mol）的混合氣體，處於同一溫度 300 K。(a) 哪種分子跑得較快，快多少？(b) 若兩種氣體都能從一個細小針孔漏出，哪一種逸出較快？

關鍵觀念：同溫下兩種氣體有相同平均動能 ½m⟨v²⟩ =（3/2）k_BT。能量相等、質量不等——所以較輕的氣體必然動得較快。
取方均根速率之比：v_He / v_N₂ = √(M_N₂ / M_He) = √(28/4) = √7 ≈ 2.65。氦分子快 2.65 倍。
代入數字：v_rms(He) = √(3·8.314·300 / 0.004) ≈ 1370 m/s，相對於前一篇 N₂ 的 ≈ 517 m/s。比值吻合：1370/517 ≈ 2.65。
對針孔（洩流）而言，逸出速率與分子速率成正比，因此同樣按 1/√M 縮放——這就是格銳目定律。氦洩流比氮快 √7 ≈ 2.65 倍。
現實印證：這正是氦氣球一天內就消氣的原因（它又小又快的原子從橡膠中溜出），也是當年靠反覆氣體擴散分離鈾同位素的原理——微小的質量差，經 1/√M 放大、歷經數千級而成。

氣體不再理想時

理想氣體定律好得驚人——但我們承諾過要誠實面對它的極限。把氣體用力擠壓、或冷卻到接近凝結，兩個被忽略的事實便重新主張自己：分子確實佔據空間，也確實彼此吸引（最終讓氣體得以化為液體的那種微弱作用力）。約翰尼斯·凡得瓦修補了理想定律以納入兩者，並因此獲得諾貝爾獎。

\left(P + \dfrac{a n^2}{V^2}\right)(V - nb) = nRT

凡得瓦方程。常數 b 減去分子自身佔據的體積；a n²/V² 這一項則補回因分子間吸引而損失的壓力。令 a = b = 0，理想氣體定律便回歸。

通往熱力學及更遠的橋樑

最後一次回到那個盒子，這次帶著意義而來。每一根滑桿都是你建立起的理論的一部分：溫度是分子的平均動能，壓力是它們對牆壁齊聲的擂鼓，而 PV = nRT 把兩者綁在一起。第一篇裡看似動畫的東西，如今成了一座運作中的實驗室。

這通往何處？追蹤能量的進出，你便抵達熱力學第一定律——動理論正是它的「內能」的來源。問為何熱從熱流向冷、卻從不倒流，那快慢並存的速率分布就成了熵與熱力學第二定律的種子。把分子狀態的計數再往前推，你就抵達統計力學，一切熱物理背後那具深邃的引擎。你從問「空氣是什麼」開始；最終握住了那條把分子的微觀世界，繫向熱的巨觀定律的線。