電荷的能量觀點
把球舉高會儲存重力位能;一放手,重力就作功把它變回運動。電荷在電場中也一樣。把一個正電荷推向另一個正電荷——逆著斥力——你就儲存了電位能;一放開,場就作功把它驅趕出去。因為電力和重力一樣是保守力,這份能量只取決於位置,與所走的路徑無關。
對兩個點電荷,儲存的能量是 U = k\,q_1 q_2/r——注意這是 $1/r$,比 1/r^2 的力和緩一個冪次。對同性電荷為正(你必須作功才能把它們湊在一起,能量正等著把它們彈開),對異性電荷為負(它們落到一起、釋放了能量——你得供給能量才能把它們分開)。
電位:單位電荷的能量
正如我們把力除以電荷得到場,把能量除以電荷就得到電位 V——空間中某一點的性質,無論你日後在那裡放什麼電荷都一樣。它的單位,焦耳每庫侖,就是伏特(V)。日常說的「電壓」,不過是兩點間電位的差。
電位是單位電荷的位能;點電荷產生電位 kq/r;把電荷 q 移過電位差 ΔV,其能量改變 qΔV。
等電位面:電壓的等高線圖
把所有電位相同的點連起來,就得到一個等電位面——恰如登山地圖上的等高線,線上每一點都在同一高度。兩條規則讓它們變得直觀:電力線永遠垂直穿過等電位面,而沿等電位面移動電荷不作功(你沿等高線走,從不爬升)。任何平衡中導體的表面,都是一整片等電位面。
儲存電荷與能量:電容器
把兩個導體靠近彼此,一個充上 +Q、另一個 -Q:這就是電容器,一種儲存電荷與能量的元件。它所存的電荷與兩端的電壓成正比,而那個比例常數——每伏特能存多少電荷——就是它的電容 C,以法拉(F)為單位。
電容是每伏特的電荷;對平行板,它隨板面積 A 增大、隨間距 d 減小;充電的電容器儲存能量 ½CV²。
把一片絕緣板——介電質——滑入兩板之間,電容就會增大 \kappa 倍(介電常數):板中分子極化、部分抵消了場,使兩板能在相同電壓下存更多電荷。這正是為什麼真實的電容器裡塞的是介電質,而非空空的空氣。
把它組合起來,以及它通往何處
演練題。 一個平行板電容器,板面積 A = 0.50\ \text{m}^2,中間隔著 d = 1.0\ \text{mm} 的空氣,充電到 V = 100\ \text{V}。求它的電容、所存電荷與所存能量。步驟一: C = \varepsilon_0 A/d = (8.85\times10^{-12})(0.50)/(1.0\times10^{-3}) \approx 4.4\times10^{-9}\ \text{F} = 4.4\ \text{nF}。
步驟二: Q = CV = (4.4\times10^{-9})(100) \approx 4.4\times10^{-7}\ \text{C} = 0.44\ \mu\text{C}。步驟三: U = \tfrac12 CV^2 = \tfrac12(4.4\times10^{-9})(100)^2 \approx 2.2\times10^{-5}\ \text{J}。合理性檢驗: 奈法拉與微庫侖正是日常的尺度;這麼小的能量提醒我們,一般電容器每單位大小儲存的能量很少——這也正是為什麼跑你手機的是電池,而非電容器。