向量：你能相加的箭頭

點告訴你在哪裡；向量告訴你朝哪走

在座標那一階，你替每個點安上了地址：平面上的一個有序對 (x, y)，而你已能感覺到空間裡那個 (x, y, z) 正在等著。點是一個位置。但幾何裡充滿了不是位置的東西——一推、一段位移、一個速度、把你從房間一角帶到另一角的那一步。這些東西有方向也有大小，卻沒有固定的家；同一推不管你站在哪裡，都還是同一推。恰好捕捉「一個方向加上一個大小」的物件，就是向量。

把向量畫成一支箭頭。箭頭的長度是它的大小（多少），箭頭指的方向是它的方向（朝哪）。解放之處在這裡：兩支長度相同、方向相同的箭頭，就是同一個向量，即使它們畫在紙頁的不同角落。向量不像點那樣被釘死在一處——你可以自由地把它滑來滑去，只要保持長度與方向不變，讓它從任何方便的地方出發。正是這份自由，讓向量如此容易相加。

從箭頭到數字：分量

箭頭生動，卻難以拿來計算；座標的念頭再一次救了我們。把向量滑到讓它的尾端坐在原點 O；它的頭就落在某個點上，而那個頭的座標就是向量的分量。在平面裡，向量 v 有兩個分量，v = (a, b)；在空間裡有三個，v = (a, b, c)。分量 a 說箭頭沿 x 方向伸了多遠，b 沿 y，c 沿 z——箭頭那單一的運動，被拆成純粹的水平、縱深與垂直三部分。這些就是分量；從此以後，一個向量就是它那串分量。

要是箭頭不是從原點出發呢？比方說它從點 A 跑到點 B；我們把這個向量寫成 AB。要找它的分量，你做減法——頭減尾：AB = (B_x − A_x, B_y − A_y, B_z − A_z)。這個減法悄悄替你把箭頭滑回了原點。一個特殊而重要的情形，是尾端恰好是原點本身：這時從 O 到某點 P 的向量，其分量就等於 P 自己的座標，我們稱它為 P 的位置向量。這正是兩個世界之間的橋——每個點 P 都帶著一個向量 OP，而「在哪裡」與「朝哪走」就是這樣握上手的。

A = (1, 2, 3)      B = (4, 6, 3)

AB = B - A = (4-1, 6-2, 3-3) = (3, 4, 0)

head minus tail  ->  the arrow from A to B, slid back to O

頭減尾給出箭頭的分量；這裡 AB 沿 x 伸 3、沿 y 伸 4、沿 z 為 0（它保持水平）。

把箭頭相加：首尾相接

這就是標題承諾的那一招。要把兩個向量 u 與 v 相加，先畫 u，再讓 v 從 u 的頭出發；從 u 的尾到 v 的頭的那支箭頭，就是和 u + v。這個首尾相接法則不過是「先做一段位移，再做另一段」——向東走三步，再向北走四步，從起點到終點的那一支箭頭就是和。把兩支箭頭反過來接（先 v 再 u），你會抵達一模一樣的地方：這就是為什麼向量加法可交換，u + v = v + u，也是為什麼這幅圖常被畫成一個平行四邊形、以和為對角線。

用分量的回報，是這一切幾何都化為純算術：你把兩個向量相加，就是把它們的分量一格一格相加。若 u = (1, 2, 2)、v = (2, −1, 3)，則 u + v = (3, 1, 5)——不必動筆。兩幅圖（首尾相接的箭頭）與這一條規則（把數串相加）保證一致，因為每個方向上的分量不過是沿那條軸的位移，而沿同一條線的位移就是照普通方式相加。你也可以縮放一個向量：3v = (6, −3, 9) 是同方向、長三倍，而 −v = (−2, 1, −3) 是同長度、恰好指向相反。

箭頭有多長？長度，以及特別的單位向量

每支箭頭都有一個長度，寫作 |v|，稱為它的大小或範數。要量它，你不需要任何新東西——畢氏定理早就知道答案。平面裡的向量 (a, b) 是一個直角三角形的斜邊，兩股為 a 與 b，所以 |v| = 根號 (a^2 + b^2)。在空間裡，你用兩次畢氏，這個樣式就只是多長出一項：對 v = (a, b, c)，|v| = 根號 (a^2 + b^2 + c^2)。這正是空間中的距離公式換了裝，因為 AB 的長度就是 A 到 B 的距離——同一個念頭，看成一支箭頭罷了。

你常常想要一個只捕捉方向的向量，長度被削成 1。這樣的箭頭是單位向量，做法是把一個向量除以它自己的長度：沿 v 的單位向量就是 v 除以 |v|。例如 v = (3, 4, 0) 有 |v| = 根號 (9 + 16 + 0) = 5，所以它的單位向量是 (3/5, 4/5, 0)，指向完全相同、卻恰好一單位長。三個特別的單位向量太有用了，於是有了名字：i = (1, 0, 0)、j = (0, 1, 0)、k = (0, 0, 1)，沿三條軸的單位步伐。任何向量都是用它們寫成的配方：(a, b, c) = a i + b j + c k。

為何這是通往空間的門

注意剛才發生了什麼：加法規則、縮放規則、長度公式裡，沒有一樣在乎我們有兩個數還是三個數。同一套機器在平面裡處理 (a, b)，在空間裡處理 (a, b, c)，只多了一格。這就是分量那個安靜的奇蹟——它讓你把每一項平面技能筆直地帶上第三維，不必學一門新的幾何。那支你能相加的箭頭，無論住在紙上還是房間裡，都是同一支箭頭。

認出每個向量的尾與頭，用頭減尾讀出分量（位置向量是最簡單的情形，尾端就是原點）。
一格一格地加或減，縮放就是把每一格相乘——首尾相接與平行四邊形的幾何保證與之相符。
用畢氏量長度：|(a, b, c)| = 根號 (a^2 + b^2 + c^2)，這是穿著箭頭的距離公式。
想要純方向時，削成單位向量（除以 |v|）——但絕不對零向量這麼做。

從這一個地基，這一階其餘的部分長了出來。下一篇導引把兩支箭頭之間的夾角是多少？這個問題化成一個數字，即點積；再下一篇造出一支與兩個給定向量都垂直的全新箭頭，即外積，並讀出面積；接著空間中的線與面被寫成向量方程式，而三重積把體積遞到你手上。這每一樣，都不過是箭頭的相加、縮放與度量——也就是你此刻已握在手裡的那點樸素本領。