一個運動接著一個運動
從上一篇你已經握有三個熟悉的 剛體運動：把每個點依固定向量滑動的 平移、繞著一個中心旋轉整個平面的 旋轉、以及把平面沿鏡射線翻過去的 反射。自然的下一個問題是：把其中兩個接連做下去會怎樣——先反射、再旋轉；先滑、再滑一次。先做一個運動、再把它的結果餵進第二個運動，這叫做 合成，而它正是貫穿整個梯級的那一個核心想法。
接下來這個事實，讓合成值得我們在意。等距變換 是任何保持距離的運動——任兩點之間的間距，在運動之後和之前完全一樣。如果你做一個保距的運動、再做第二個保距的運動，這趟合起來的旅程仍然保距，因為沿途從來沒有任何一步把間距拉長或縮短。所以兩個等距變換的合成 仍然是一個等距變換。剛體運動在「先做一個再做一個」之下是封閉的，正是這份封閉性，讓我們能把它們當成可以相乘的物件來對待。
兩次反射造出一個轉或一個滑
反射是最容易合成的運動，而結果在你第一次看到時令人意外。取兩條鏡射線，先沿第一條反射、再沿第二條反射。如果這兩條線在一點 O 相交，合起來的運動竟是繞 O 的純旋轉——而那個旋轉的角度，恰好是兩面鏡子夾角的兩倍。兩面在 30 度相交的鏡子，產生 60 度的旋轉。兩次翻轉各自把圖形左右顛倒，互相抵消了對方的顛倒，留下一個乾淨的轉。
現在把兩面鏡子拉開，讓它們從相交變成 平行。先沿一條平行線反射、再沿另一條，得到的是純平移——圖形完全不轉，只是滑過去。方向垂直於鏡子，移動的距離是它們間距的兩倍。所以一個旋轉總能用兩次相交的反射重建，一個平移總能用兩次平行的反射重建。這是你第一次瞥見一個大得多的定理：反射是一切剛體運動的原子，而下一篇會正面處理它。
two reflections across lines m1, m2:
m1 and m2 CROSS at O, angle a between them
-> rotation about O by 2a
m1 and m2 PARALLEL, gap d between them
-> translation by 2d, perpendicular to the lines
so: rotation = reflection . reflection (crossing mirrors)
translation = reflection . reflection (parallel mirrors)沒人提起的第四種運動
我們已看過平移、旋轉、反射——也剛看到兩次反射給出旋轉或平移。但若你把反射和一個 沿著它自己鏡射線方向 的平移合成起來呢？先把圖形沿一條線反射，再沿著正是那條線的方向滑動一段距離。結果是一個真正全新的運動：它不是平移、不是旋轉、也不是單純的反射。它就是 滑移反射——一次翻轉與一次滑動焊接成一體，是平面等距變換第四種、也是最後一種類型。
最日常的畫面是沙灘上的一串腳印。左腳，然後右腳跨前一步，然後左腳再跨前一步。要把一個左腳印恰好搬到下一個左腳印上，你不能只滑——兩個左腳印相隔兩步——也不能只翻。你必須同時做兩件事：沿著足跡的中線反射，把左腳形狀換成右腳形狀，再向前滑一步。那個合起來的動作就是滑移反射，而那串腳印正是它的招牌花樣。
有一個細節值得釘清楚，因為它顯示滑移反射真的是它自己一回事，而不只是記帳。這裡反射和滑動可交換：先反射再滑，和先滑再反射給出相同結果，正因為滑動是沿著鏡子跑的。而滑移反射 完全沒有不動點——每個點都在動——可是它卻是由一個反射造出來的，反射本身固定一整條線。這份不對盤正是線索：我們看的不是偽裝的反射，而是真正新的東西。
造出並讀出一個滑移反射
用座標把它弄具體。把鏡子放在 x 軸上，選一個向右 4 單位的滑移。一個點 P = (x, y) 先沿 x 軸反射到 (x, -y)，再滑到 (x + 4, -y)。所以整個滑移反射把 (x, y) 送到 (x + 4, -y)。在 P_1 = (1, 2) 上試試：你得到 (5, -2)。再做一次，(5, -2) 跑到 (9, 2)——回到原來的高度，往下游兩個滑移。每隔 第二 次作用就回到同一高度，正是腳印節奏在代數裡的樣子。
- 面對一個你懷疑是滑移反射的運動，先把它做兩次。如果做兩次得到一個純平移（沒有殘留的翻轉），那麼原來的就是滑移反射——或在滑移距離為零的特例下，是一個普通的反射。
- 讀出滑移向量：它恰好是你「做兩次」所得平移的一半。把加倍的滑動折半，就還原出單一的滑移步。
- 找出鏡射線：它與那個滑移向量平行，安放在每個點與它的像的正中間，好讓「反射加滑動」把每個點搬到它的像上。
- 理智檢查：真正的滑移反射沒有不動點、且反轉定向，所以一個標成順時針的三角形，回來時會標成逆時針。
定向：藏起來的記帳
在四種運動背後，坐著一個安靜的量，解釋了它們如何結合：定向。把一個三角形的頂點標成 A、B、C 並繞著它走一圈；你不是順時針就是逆時針。平移或旋轉保持那個行走方向——這些是 直接等距變換，也叫保持定向的。反射或滑移反射把它從順時針翻成逆時針——這些是相反的、反轉定向的等距變換。在平面上你無法把一隻左手平順地滑到一隻右手上，而定向正是記錄這個原因的那本帳。
定向像正負號一樣結合，這正是為什麼合成感覺起來像乘法。兩個反轉的運動合成為一個保持的：這正是為什麼兩次反射給出旋轉，也是為什麼滑移反射做兩次給出平移。一個保持的和一個反轉的運動合成為一個反轉的。光是握住這一個位元——保持或反轉——就已經能在你算出任何一個座標之前，預測任何合成所屬的 家族。
完整的目錄，與一個誠實的但書
合成現在悄悄遞給了我們本梯級的關鍵句。平面的每個等距變換，恰好是四種之一：平移、旋轉、反射、或滑移反射——不會出現別的，而恆等變換（什麼都不做）算成零向量的平移或零度的旋轉。這就是 平面等距變換的分類，而它真的是完整的：沒有藏起來的第五種運動潛伏著。那串腳印不是奇珍，而是讓清單封口的、缺席的第四位成員。
對這裡證明了什麼、沒證明什麼要誠實。腳印的畫面讓滑移反射變得可信，定向的記帳讓四分法看來合理，但兩者都不是完整的證明。真正的論證會說明每個等距變換都是至多三次反射的乘積，再依奇偶性與不動點把這些乘積分門別類——那是下一篇的工作。先把這個分類賒帳信一篇，然後等反射被確立為建構磚塊之後，看著它乾淨地掉出來。
再來一個誠實的邊界：這裡的一切都住在平坦的平面上。在球面上或在 雙曲幾何 裡，等距變換仍有乾淨的分類，但登場的角色換了——平面意義下的純平移甚至不一定存在，而何謂反射或旋轉，都必須對新的曲面重新解讀。方法本身——合成反射、追蹤定向——漂亮地延續了下去；但那份特定的四項清單沒有。這是上方梯級富藏的承諾，不是這一級的瑕疵。