移動圖形而不改變圖形
你已經知道兩個三角形全等是什麼意思：同樣大小、同樣形狀，一個能完全疊在另一個之上。但這句話藏了一個動作——完全疊上去——而在這一階，我們終於認真看待這個動作。剛體運動（也稱等距變換）是一種同時移動平面上每一個點的方式，使得距離被完美保持：若 A 與 B 跑到 A' 與 B'，那麼 |A'B'| = |AB|，對每一對點都永遠成立。沒有東西被彎、被拉、被撕。平面被當成一張硬挺的透明薄片，你能把它拿起、再放回去。
「等距」這個詞說得很白：iso 是相同，metry 是度量。保持距離這唯一一項性質強得驚人。因為距離被保持，角也被保持（一個角只要知道一個小三角形的三段距離就被定住了），面積被保持，直線仍是直線，而原圖形與它的像在你熟悉的舊意義下全等。所以這一階並沒有丟掉你早先學的全等——它解釋了全等。兩個圖形全等，恰恰就是當某個剛體運動把一個搬到另一個之上的時候。
滑動：平移
最溫和的剛體運動是平移——純粹的滑動，不轉也不翻。每一個點都朝同一方向、移動同一距離，彷彿整張薄片被在桌上輕推了一下。這「同距離、同方向」正好就是向量的描述，所以一個平移由一支箭頭定住：它的平移向量。若向量是 (3, 1)，那麼點 (x, y) 跑到 (x + 3, y + 1)，其餘每一個點也都如此——整個平面齊步移動。
為什麼滑動會保持距離？取兩點 A 與 B；滑動後它們變成 A' 與 B'，各自被同一向量 v 移動。從 A 到 B 的小箭頭，與從 A' 到 B' 的小箭頭，於是是同一支箭頭——把兩個端點都用 v 滑動，並不會改變它們之間的位移。同一支箭頭就是同一個長度，所以 |A'B'| = |AB|。平移完全沒有不動點（除非向量為零，那是什麼都不做的「恆等」），而且它讓每條線都指著它原先的方向：水平線仍水平，平行線仍平行。
旋轉：轉動
旋轉讓平面繞著一個固定點轉。要指定一個旋轉，你需要兩樣東西：一個中心 O，也就是唯一保持不動的那個點；以及一個帶方向的角度 theta（逆時針通常是正方向）。於是每個點 P 都擺動到一個新點 P'，使得 |OP'| = |OP| 且 m(angle POP') = theta。想像用一根圖釘在 O 把透明薄片釘在桌上，再把它轉動：圖釘不動，其餘每個點都沿著一個以 O 為心的圓繞行，與中心的距離分毫不差地保持著。
因為每個點都保持到 O 的距離，兩個點 A 與 B 各自沿自己的圓繞行，而整張薄片的角度轉了同一個 theta。三角形 OAB 被搬到三角形 OA'B' 之上，其中 |OA'| = |OA|、|OB'| = |OB|，且兩臂在 O 處的夾角不變——於是由邊角邊，兩三角形全等，|A'B'| = |AB|。旋轉恰有一個不動點，即它的中心（同樣地，除非 theta 是整整一圈，那什麼也不做）。theta = 180 度這個特例值得取個名字：半轉，或稱點對稱，它把每個點筆直穿過中心，送到對側等距之處。
翻轉：鏡射
第三招是鏡射，沿一條線翻轉。線 m 是鏡子（或軸）；沿線鏡射把每個點 P 送到 m 另一側的點 P'，與 m 的垂直距離相同，使得 m 恰是線段 PP' 的垂直平分線。任何本來就落在鏡子上的點完全不動——整條線 m 被固定。要徒手找出一個像，就從 P 向 m 作垂線，越過 m 再延伸等長的一段；那就是 P'。
鏡射保持距離，理由是同一類的：把 A 與 B 都沿 m 鏡射，會把一個圖形翻成它的鏡像，而不改變其中任何長度。但這裡發生了一件滑動與旋轉都從不發生的全新的事——鏡射會把手性反轉。沿逆時針方向描出一個三角形的三個角 1、2、3；翻轉之後，那個像讀起來是順時針的 1、2、3。你的左手變成了右手。在平面之內，無論怎麼滑、怎麼轉都無法把這件事還原；翻轉是另一個品種的運動。
兩大家族：正向與反向
那個關於手性的觀察，把所有剛體運動乾淨地分成兩個家族。正向等距變換保持定向——逆時針的迴圈仍是逆時針——而反向等距變換則把它反轉。平移與旋轉是正向的；你能用一塊真實的滑動磁磚演出它們，從不把磁磚抬離桌面。鏡射是反向的；要在實物上做出它，你必須把磁磚翻面，這正是你的雙手感覺得到的原因。這分成正向與反向等距變換的劃分，是整個這一階最深刻的事實之一，下一篇導引將大力倚靠它。
RIGID MOTIONS OF THE PLANE direct (keep handedness) | opposite (flip handedness) --------------------------- | --------------------------- translation - slide | reflection - flip rotation - turn | glide reflection - flip+slide all four preserve every distance: |A'B'| = |AB|
這裡有個這一階其餘部分將會掙得的驚喜：那四種——平移、旋轉、鏡射，以及尚待登場的滑動鏡射——就是全部。平面的每一個剛體運動，無論看起來多複雜，都恰好是這四種之一。接下來的導引會仔細搭起這個分類：你會先把運動複合，遇見滑動鏡射，接著你會發現每個等距變換暗地裡都是至多三個鏡射的乘積，而完整的清單就從那裡水落石出。
從兩個點讀出一個運動
最後一個實用的念頭把這一階綁在一起，也顯示這些運動有多麼剛硬。假設你知道兩個點 A 與 B 落到哪裡——A 跑到 A'，B 跑到 B'。令人驚訝的是，這幾乎就把整個運動定住了。知道一個三角形每個點的像，當然會把運動固定下來，但你甚至不需要第三個角：只要你再決定手性是保持還是翻轉，光是兩個點的像，就完全且唯一地確定了那個剛體運動。平面剛硬到，兩個錨點就讓它再無處可動。
- 先決定家族：圖形是同向繞行（正向等距變換——滑動或旋轉），還是鏡像反向（反向的——翻轉）？
- 若什麼都沒轉、各處的滑動又都相同，那是平移——把向量讀成 A' 減 A。
- 若它是正向的，但 A 與 B 繞著一個不動點擺動，那是旋轉——它的中心落在 AA' 與 BB' 的垂直平分線相交之處。
- 若手性翻轉了，那是鏡射（或含滑動時，是滑動鏡射）——而鏡子就是每個點連到其像的線段都被它垂直穿過的那條線。
留意這個找中心的訣竅：旋轉的中心到 A 與 A' 等距（兩者都落在繞它的一個圓上），所以它位在 AA' 的垂直平分線上——同理也在 BB' 的平分線上。兩條平分線，一個交點，中心就找到了。這個小動作——距離保持迫使中心落在垂直平分線上——正是你接下來要證明的那個分類背後的主力。你現在已握有三種基本運動，以及那一個念頭——保持每一段距離——整個變換這一階就是從它搭建起來的。