360 從何而來——以及圓為何從未同意
上一篇裡，單位圓讓三角學自由了：每一個角，不論多大、多負，都成了半徑為一的圓上的一個點，sin 與 cos 成了那個點的高度與影子。但整篇下來，我們始終用度來量角，一整圈是 360 度。停下來問一個沒人問的明顯問題：為什麼是 360？不是因為圓裡有任何東西。這個數字是巴比倫天文學家的遺產，他們喜歡 360，因為它接近一年的天數，又能乾淨地除成二分之一、三分之一、四分之一、五分之一、六分之一。這是一個曆法的數字，硬栓到幾何上而已。
看看那份任意性的代價。從測量那一階梯你知道圓的圓周長是 2 pi r——半徑 r 出現了，pi 也出現了，但 360 連影子都沒有。圓自身的幾何是用半徑與 pi 寫成的。所以每當我們用度數來描述轉動，我們就是在講一種外語、付一筆翻譯稅：一個 pi/180 的湊數因子，得被偷偷塞進一條又一條公式裡，好在圓的自然單位與我們曆法的單位之間換算。本篇的全部用意，就是丟掉這外國貨幣，讓圓用它自己的硬幣付款。
定義：用自己的弧來量的角
一張圖就說清楚這個點子。站在半徑為 r 的圓心，張開一個角。這個角在圓緣截下一段弧。現在問：那段弧有多長，用「幾個半徑」來量？如果那段弧恰好是一個半徑長，我們就稱這個角為一弧度。如果弧是兩個半徑長，角就是兩弧度；半個半徑長，就是半弧度。一個角的弧度量，不過是它所對的弧長除以半徑——兩個長度的純比值，弧長除以半徑，長度單位在其中約掉。
因為它是兩個長度的比值，弧度是無因次的——它不帶公尺或英寸，它就只是一個數。這正是這個定義安靜的美：它不依賴圓有多大。一個小圓與一個巨大的圓，張到同樣的角，截下的弧長差很多，但每段弧都是同樣多個半徑，因為弧長與半徑一起縮放。這個角單由開口的形狀所捕捉，正如一個角本該如此。
radian measure of an angle = arc length / radius = s / r so, turned around: arc length s = r * theta (theta in radians)
取代 360 的那個數
現在做本篇最重要的計算：一整圈是幾弧度？繞完一整圈，弧就是整個圓周長 2 pi r。除以半徑，r 約掉，剩下 2 pi。所以一整圈是 2 pi 弧度——約 6.28——而這單一事實就是整張換算表。半圈（一個平角，舊的 180 度）是 pi 弧度；四分之一圈（一個直角，90 度）是 pi/2；八分之一圈（45 度）是 pi/4。注意這些都是精確的：沒有小數、沒有四捨五入，就只有 pi 與小分數。
從這裡，往任一方向換算都是一個比值。既然 180 度等於 pi 弧度，把度數乘以 pi/180 就得到弧度，或把弧度乘以 180/pi 換回去。那個 pi/180 正是第一節裡的「翻譯稅」——而現在你看得出它一點都不神祕，不過是一個轉動的兩個單位之間的匯率。數學家把角保持在弧度的理由，是這個匯率從此再也不出現：在弧度下，圓與微積分的公式完全不帶任何多餘的 pi/180。
- 把 60 度換成弧度：乘以 pi/180。於是 60 乘以 pi/180 = pi/3 弧度。把它讀成一圈的比例，pi/3 是 2 pi 的六分之一，而 60 度確實是 360 的六分之一——兩者吻合。
- 換 270 度：270 乘以 pi/180 = 3 pi/2 弧度，也就是一整圈的四分之三——正是單位圓上直直朝下的那個角。
- 把 2 弧度換回度數：2 乘以 180/pi，約 114.6 度。不是整數度——一個乾淨的弧度角，通常是個雜亂的度數角，而這正是重點所在。
回報：弧、扇形，與一條被化為瑣事的公式
看單位如何回報它的價值。把定義重排得到弧長 s = r 乘以 theta——想知道你沿圓緣走了多遠，就把半徑乘以以弧度計的角，完畢。對照度數版本，你得寫 (n/360) 乘以 2 pi r，還要把 360 挪來挪去。弧度公式沒有 360、沒有要拖著走的另一個 2 pi；圓的幾何用乾淨的一行說話。同樣的簡潔延伸到扇形面積：用弧度是二分之一乘以 r^2 乘以 theta，而度數版本需要 (n/360) 乘以 pi r^2。
這兩條公式並非新的幾何——它們正是測量那一階梯的結果，只是把角改用它自己的弧、而非用 360 分之幾來量。但最深的回報，是你要到微積分階梯才能完全證明的一件事：當角用弧度時，對小角度而言 sin theta 幾乎恰好等於 theta。試試看——sin 0.01 弧度是 0.0099998...，與 0.01 本身近得令人屏息。這個近似相等，寫作 sin theta 約等於 theta，是「sin 的導數長成 cos」的種子，而它只在弧度下為真。在度數下，sin 0.01 度約為 0.0001745，乾淨的關係被埋在一個 pi/180 的因子之下。
用新單位讀熟悉的角
你上一篇建的單位圓完全沒變——變的只是圓緣周圍的標籤。點都待在原處；我們依「你走了多少弧到達它」來替每個點重新標號，從正 x 軸出發、逆時針而行。熟悉的特殊角 30、45、60 度成了 pi/6、pi/4、pi/3，而它們的倍數掃過一圈：頂端 pi/2、最左 pi、底端 3 pi/2、回到原點 2 pi。參考角的運作一模一樣——你仍然把任何角折回它對 x 軸的銳角夥伴，只是現在那個夥伴用弧度命名，像 pi/6 而非 30 度。
弧度也讓圖形誠實。當你把 sin 的圖形畫出來、水平軸放以弧度計的角，一個完整的波恰在 2 pi 後完成，曲線在 0、pi、2 pi 處穿過零——乾淨的地標。更妙的是，在原點附近，正弦圖以恰好為 1 的斜率離開，這是 sin theta 約等於 theta 的直接後果；在度數下，那個起始斜率卻是醜陋的 pi/180。波的形狀兩種單位下都一樣，但只有弧度讓它以自然的 45 度傾角起步。
你帶往前方的東西
你並沒有學到一種新的角——你學到了一把更好的尺，去量你早已擁有的那些角。一弧度是「以半徑為單位、由它所截的弧」來量的角；一整圈是 2 pi 弧度，而換成度數就是這單一事實：180 度 = pi 弧度。回報是弧長、扇形面積、三角函數的圖形、以及小角度的行為全都乾淨地跑出來，沒有曆法數字 360 來弄髒代數。從此以後，除非題目給你度數，就假設一個角是用弧度的。
接下來，第四篇把直角三角形與單位圓拋在身後，去對付任何一個三角形，靠的是正弦定理與餘弦定理。那些定理通常用弧度來寫、來證明，而你在那裡會遇到的「由正弦求三角形面積」公式，又是弧度的乾淨悄悄回報的一處。把「180 度 = pi 弧度」這個換算放進口袋，把「一段一個半徑長的弧」這張圖留著——那張圖就是全部的點子。