SOHCAHTOA：直角三角形裡的三角函數

為什麼直角三角形的比值是固定的

挑一個銳角——比方說 30 度——然後造一個含有它的直角三角形：一個角是 30 度，另一個是 90 度的方角，第三個角就是剩下的那個。現在再造一個大得多的直角三角形，含同樣的 30 度角。因為兩者都已共有那個直角和那個 30 度角，它們的第三個角也必定相同，於是由 AA 相似，這兩個三角形相似——同形狀、不同大小。大的那個不過是小的那個照相放大而已。

接下來這個收穫，讓整個三角學成為可能。在相似形裡，對應邊成比例，意思是任兩邊的比值在兩個三角形裡完全相同。把每邊都加倍，某一邊對另一邊的比值卻紋風不動。所以對一個固定的銳角來說，（角的對邊）對（最長邊）的比值是單獨一個數——它只取決於那個角，跟你把三角形畫多大無關。這個數值得有個名字，而它確實得到了一個。

先給三邊命名，再給三個比值命名

站在你關心的那個銳角上——叫它 theta。從那裡望出去，三邊各得一個名字。斜邊是最長的那邊，永遠是直角的對邊；它的稱呼從不改變。對邊是正對著 theta、卻不碰到它的那邊。鄰邊是剩下的那條直角邊，也就是確實碰到 theta 的那一條（斜邊除外）。關鍵在於：對邊和鄰邊並不是釘死在三角形上的——你一把注意力換到另一個銳角，它們立刻互換。

邊命好名之後，三個核心比值——theta 的正弦、餘弦與正切——不過是你能組出的分數中的三個。正弦是對邊比斜邊，餘弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊。各自寫成 sin theta、cos theta、tan theta。它們不是什麼新的神祕量；每一個都實實在在是兩條你能用尺量的邊長相除而已。

                 |\
                 | \
      opposite   |  \   hypotenuse
      (faces th) |   \
                 |____\  ) theta
                adjacent

    sin(theta) = opposite / hypotenuse     <- SOH
    cos(theta) = adjacent / hypotenuse     <- CAH
    tan(theta) = opposite / adjacent       <- TOA

從三角形讀出 SOHCAHTOA：正弦＝對邊／斜邊，餘弦＝鄰邊／斜邊，正切＝對邊／鄰邊。

那個小小的字——SOHCAHTOA——就是整個口訣，讀成三個音節：SOH、CAH、TOA。每一塊裝著一個比值：Sine 是 Opposite 比 Hypotenuse、Cosine 是 Adjacent 比 Hypotenuse、Tangent 是 Opposite 比 Adjacent。出聲念個幾遍，你就再也不必煩惱哪一邊該擺在分子上了。

一步一步解直角三角形

知道了比值，你就能做一件真正有用的事：給我直角三角形的一個角和一條邊，我就能還你每一條缺掉的邊。這就是解直角三角形的意思。假設 theta 是 30 度、斜邊是 10。要找 theta 的對邊，就抓住連起對邊與斜邊的那個比值——也就是正弦。寫下 sin(30) = 對邊 / 10，而既然 sin(30) = 0.5，對邊就是 0.5 times 10 = 5。

畫出三角形，標上你已知的東西。把你想求的邊或角打個星號，讓目標一目了然。
相對於你拿到的那個角，替三邊貼上標籤：哪條是對邊、哪條是鄰邊、哪條是斜邊。
挑那個把你已知的邊和你想要的邊連起來的比值。若這兩邊是對邊與斜邊，用正弦；鄰邊與斜邊，用餘弦；對邊與鄰邊，用正切。SOHCAHTOA 會告訴你用哪個。
把式子寫出來，再靠乘或除解出未知數——就是你早已在用的同一套代數。反過來走，從兩邊回推角，就要用到下面附註裡的反函數步驟。

兩個值得背下來的三角形

大多數三角函數值是你從計算機讀出來的彆扭小數，但兩個 特殊直角三角形 給出乾淨精確、值得記在腦袋裡的值。45-45-90 三角形是一個正方形沿對角線切一半：它兩條直角邊相等，比方說都是 1，由畢氏定理斜邊是 sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2)。30-60-90 三角形是一個正三角形從中間劈開的一半：短直角邊為 1 時，斜邊是 2，長直角邊是 sqrt(3)。

從這些邊長，那些著名的值就直接掉出來。在 45-45-90 三角形裡，sin(45) = cos(45) = 1/sqrt(2)，而 tan(45) = 1。在 30-60-90 三角形裡，sin(30) = 1/2、cos(30) = sqrt(3)/2、tan(30) = 1/sqrt(3)；把視角翻到 60 度的角，則 sin(60) = sqrt(3)/2、cos(60) = 1/2。注意 sin(30) = cos(60)：一個角的正弦等於它餘角的餘弦，餘弦裡那個「餘」字正是從這裡來的——餘弦就是餘角的正弦。

另外三個比值補齊了這個家族。倒數三角比只是把你已知的三個翻過來：餘割是 1/正弦、正割是 1/餘弦、餘切是 1/正切。它們完全沒有帶來新的幾何——就是同樣那三個三角形分數倒過來寫——但它們在日後的公式裡省墨水，所以值得認得它們的名字，而不必被它們嚇到。

量出你搆不到的東西

就是在這裡，SOHCAHTOA 不再只是課堂習題，而成了現實世界的工具。站在離一棵高樹已知的距離處，抬頭看它的頂端，量出仰角——你的視線從水平往上抬起的角。那個角、你的水平距離、和樹高，組成一個直角三角形：高是那個角的對邊，距離是鄰邊。於是 tan(角) = 高 / 距離，而高就只是距離 times tan(角)。你量出了一棵你從未爬過的樹。反過來俯看你下方的東西時，相配的角就是俯角。

拿數字試試。你站在離塔底 20 公尺處，以 50 度仰角瞄準塔頂，你的眼睛離地 1.6 公尺。那麼眼睛高度以上的部分是 20 times tan(50)，大約 20 times 1.19 = 23.8 公尺，再把你的眼高加回去，塔大約高 25.4 公尺。這整套方法——測量員、航海家、天文學家幾世紀以來都倚靠它——不過就是替你搆得到與搆不到的邊，挑出對的比值而已。

誠實的邊界與常見陷阱

幾個誠實的警告能讓 SOHCAHTOA 不失誤。第一，這一切只在直角三角形裡成立——必須有一個 90 度的角，而斜邊必須是它的對邊。沒有直角的三角形，根本沒有「對邊比斜邊」可讀；那種情況你需要本梯級稍後等著的正弦定理與餘弦定理。第二，對邊與鄰邊是相對於你選了 哪一個 銳角而言的；把注意力換到另一個，這兩個標籤就互換位子，這也就是為什麼一個銳角的正弦等於另一個的餘弦。

第三，像老鷹一樣盯住你計算機的模式。同一個按鍵在度模式和弧度模式下會給出天差地別的答案，而一大堆做錯的作業，不過就是計算機悄悄被設成了弧度。在後面的篇章正式介紹弧度之前，先把它保持在度，並驗一下 sin(30) 是否回傳 0.5。最後，記得 sin、cos、tan 是比值，不是長度：對銳角來說 sin theta 永遠是介於 0 與 1 之間的純數，絕不會是幾公尺的距離——你把分數列對了的一個跡象，就是單位相消、只剩下一個光禿禿的數。