四邊形的家族樹

同樣四條邊，地位卻不平等

由上一篇你知道，一個四邊多邊形的內角和為 360，無論怎麼畫都一樣。但並非每個四邊形都生而平等。有些有平行邊，有些有相等的邊，有些有直角——而少數幾個三者兼具。本篇的任務，就是不再把這些形狀當成一串隨機、需要死背的清單，而是開始把它們看成單一家族，其中每個特殊四邊形，不過是多撿了一條額外規則的普通四邊形。

貫串全篇的組織概念是四邊形的層級：一棵分層的樹，往下走就意味著多加一條限制。最頂端坐著樸素的四邊形，可以是任何不自交的四邊形。加上「一組對邊平行」，你就降到梯形。再加上「兩組對邊都平行」，你就落在平行四邊形上——那是整棵樹的主力。在平行四邊形之下，有兩個子嗣朝不同方向各自專精，而它們相遇之處，坐著全樹中最多勳章的那個形狀。

平行四邊形——一切熱鬧之所在

平行四邊形由一個樸素的條件定義——兩組對邊都平行——然而這條單一規則卻連鎖出一束驚人的後果。對邊原來等長。對角原來等度。鄰角互補，和為 180。而兩條對角線互相平分，在交點處各自把對方恰好切成兩半。這些沒有一條是額外的假設；每一條都僅由平行的對邊推出。

這些從何而來？引擎是早先一段的截線與平行線手法，再配上三角形全等。在平行四邊形上畫一條對角線，它就把這形狀切成兩個三角形。這條對角線是橫切兩組平行邊的截線，所以它造出的內錯角相等。有了這些相等的角和共用的對角線，兩個三角形便依ASA 全等相符——而一旦全等，對應部分相等就一舉把相等的對邊與相等的對角交到你手上。

取平行四邊形 ABCD，其中 AB || DC 且 AD || BC。畫出對角線 AC，把它分成三角形 ABC 與三角形 CDA。
因為 AB || DC，內錯角給出 m(angle BAC) = m(angle DCA)。因為 AD || BC，它們也給出 m(angle BCA) = m(angle DAC)。
對角線 AC 為共用邊，所以依 ASA，兩三角形全等：三角形 ABC 全等於三角形 CDA。
由對應部分相等，|AB| = |CD| 且 |BC| = |DA|——對邊相等——而角 B 等於角 D，對角也相等。

兩個子嗣：菱形與矩形

現在我們取一個平行四邊形，用兩種方式之一把它收緊。強迫四邊全部相等，你得到菱形——想像一個正方形被推歪成傾斜的鑽石。強迫四角全為直角，你得到矩形——那熟悉的門窗形狀。兩者仍是平行四邊形，所以都繼承上一段的每項性質；各自只是在其上再添一份自己的新禮物。

這兩份新禮物都住在對角線裡。菱形的對角線互相垂直，以直角相交，且每條對角線都平分它所抵達的角——所以菱形的對角線就像一對內建的角平分線。相對地，矩形的對角線等長，兩條從角到角伸展同樣的距離。注意這個取捨：菱形掌控對角線之間的「角」，矩形掌控對角線的「長」。這是真正不同的性質，這也是為何兩個形狀坐落在不同的分枝上。

正方形：分枝交會之處

如果一個形狀堅持同時當菱形又當矩形——四邊全等且四角全直——會怎樣？那它就是正方形，而樹的兩條分枝在它這個勳章最多的單一節點上重新融合。正方形是罕見的形狀，同時是正方形、菱形、矩形、平行四邊形與四邊形——樹上它之上的每一份榮譽都適用。這就是「包含式」約定的回報：正方形一口氣繼承雙親全部的對角線性質。

把這份繼承對正方形對角線的意義說清楚。來自菱形那一側：它們垂直，且平分角落的角；來自矩形那一側：它們等長；而僅僅因為它是平行四邊形：它們互相平分。合起來：正方形的兩條對角線等長，在中心以直角相交，互相切成兩半，並把每個 90 度的角各分成兩個 45 度。這大約已是四條直邊所能承載的最大對稱了。

                quadrilateral
                      |
   ---------------------------------------
   |                                     |
trapezoid (1 pair ||)            kite (2 adj pairs =)
                                          .
        parallelogram (2 pairs ||)        .
          /                  \            .
   rhombus (4 = sides)   rectangle (4 right angles)
          \                  /
               square (both)

這棵家族樹：向下每一步都加一條限制；正方形坐落在菱形與矩形分枝重新會合之處。

兩個局外者：鳶形與梯形

並非每個特殊四邊形都源自平行四邊形，若假裝這棵樹是一根整齊的單欄，那就是不誠實了。鳶形有兩組各自相異的相等鄰邊——兩條短邊在一端相會，兩條長邊在對端相會，正如它得名的那種玩具。鳶形一般不是平行四邊形，因為它的對邊未必平行。它仍憑自己的對角線性質在樹上佔有一席：鳶形的對角線互相垂直，且對稱軸平分另一條對角線。

梯形需要一個誠實的但書，因為「梯形」這個詞本身就有兩種定義，而教科書彼此不一致。在「包含式」定義下，梯形是至少有一組對邊平行——這會讓每個平行四邊形也成為梯形。在「互斥式」定義下，梯形是恰有一組對邊平行，刻意把平行四邊形排除在外。兩者都不算「錯」；它們是不同的約定，你在對它推理之前，必須先確認某門課或某本書用的是哪一個。一個值得點名的特例是等腰梯形，其兩條非平行邊相等，對角線也等長，與矩形相呼應。

退一步，整篇的重點就到位了。這棵家族樹不是裝飾；它是一台省下證明的機器。你靠畫一條對角線為平行四邊形建立的每項性質，如今對菱形、矩形與正方形也都為真，無需任何額外功夫——因為它們就是平行四邊形。下一篇我們將徹底離開直邊，轉向圓，那裡有一整族關於弦、弧與切線的全新定理在等著——但同樣的習慣會延續下去：找出父代的性質，證明一次，讓子代繼承。