當距離消失，什麼還算是定理
到此為止，你已在一個新的地基上重建了平面。你添上了一條由無窮遠點構成的地平線，好讓平行線終於相交；你學會用一組齊次座標三元組來為每一個點命名；上一篇裡你又遇見了對偶原理，其中「點」與「線」互換位置，每條定理都獲得一個孿生兄弟。你如今居住的投影平面沒有距離、沒有角度、沒有「介於之間」這回事。於是一個公道的問題是：到底還剩下什麼可以證明？本篇用全幾何學中最美的三個事實來回答——其中兩個關於純粹的接合，一個關於一個拒絕改變的數。
投影幾何唯一能談論的關係是接合關係：哪些點落在哪些線上、哪些線通過哪些點。像「這三點共線」或「這三線交於一點（共點）」這樣的陳述是被允許的；像「這條線段是那條的兩倍」這樣的陳述則不被允許，因為一旦你能把圖形投影到一面斜的屏幕上拉伸它，把長度加倍就毫無意義了。所以一條投影定理是一份保證：某些接合被另一些接合所強制——在這個圖形的每一張照片裡都成立，不論相機怎麼傾斜。
笛沙格：兩個透視的三角形
想像平面上有兩個三角形 ABC 與 A'B'C'。設它們從一點透視：存在單一一個點 O——稱它為中心——使得 line AA'、line BB' 與 line CC' 全都通過 O。這正是你投下一道影子時所發生的事：位於 O 的一盞燈把三角形 ABC 投到一面屏幕上成為 A'B'C'，而每個頂點沿著它自己那條從燈出發的射線滑出去。三個頂點透過一個中心被綁在一起。
笛沙格定理說：每當兩個三角形從一點透視，它們也必從一條線透視。具體地說，把對應邊配對起來。邊 AB 與邊 A'B' 交於某點 P；邊 BC 與邊 B'C' 交於一點 Q；邊 CA 與邊 C'A' 交於一點 R。定理保證 P、Q、R——這三個原本沒有明顯理由相關的點——總是共線的。它們落在一條直線上，即所謂的透視軸。三條通過一個中心的共點線，強制出三個落在一軸上的共線交點。這就是定理的全部內容，而它是純粹的接合：沒有任何一個長度或角度出現。
現在來領取上一篇的紅利。笛沙格定理幾乎完美地自對偶。順著讀：從一點透視蘊含從一線透視。把每個「點」換成「線」、「落在……上」換成「通過……」，你就得到逆命題——從一線透視蘊含從一點透視——因此它無償地成立，不必再做任何新功夫。一條定理，只證一次，就把自己的逆命題交到你手上。這就是對偶在實實在在地交租，而不只是裝飾牆面。
帕普斯：由兩條線織出的六邊形
第二顆寶石更為古老——它可追溯到亞歷山卓的帕普斯，約公元 320 年，比投影幾何有名字早了一千多年，儘管我們如今將它視為屬於此處。畫兩條相異的線。在第一條上，標任意三點 A、B、C；在第二條上，標任意三點 A'、B'、C'。現在在兩條線之間織出一道由六段連接線構成的之字形，來回交錯：A 到 B'、B 到 C'、C 到 A'，以及三條返回的線 A' 到 B、B' 到 C、C' 到 A。
帕普斯定理說這六條線以一個隱藏的模式交叉。按交點把它們配對：line AB' 與 line A'B 交於一點 X；line BC' 與 line B'C 交於一點 Y；line CA' 與 line C'A 交於一點 Z。其主張——乾淨而出人意料——是 X、Y、Z 總是共線的，落在單一一條線上，不論你把原本那六個點沿著它們的兩條線放在何處。分置於兩條線上的六個點，憑空變出第七條線。如同笛沙格定理，它只談相交與共線；你能僅用一把直尺把它證出來。
值得停下來想想這有多嚴格。帕普斯定理不只是一個通常管用的漂亮模式；它是被強制的，每一次，在投影平面中零例外。而它還載著一個深層的內涵，是你要到很久以後才會充分領會的：帕普斯定理在一個座標平面中成立，恰恰當底層的數系具有可交換的乘法。它令人驚異地是代數律 a*b = b*a 的幾何面孔。我們在這一階無法證明那個關聯，但誠實地把它標出來是應該的：這個天真的六邊形，暗地裡正在檢驗你的算術是否可交換。
交比：投影殺不死的數
現在來到第三顆寶石，以及一個內建於投影幾何中的告白。投影摧毀了幾乎每一個你在乎的數。取一條線上一列的四個點 A、B、C、D，再從一個斜角去拍它們：長度變了，比值 |AB| / |BC| 變了，連中點都不再是中點。感覺彷彿投影抹去了所有數值資訊。令人驚異的發現是：有一個數倖存了下來——而且在一個精確的意義下只有一個。那就是交比，整個學科中最重要的單一不變量。對於四個共線點，它是一個比值的比值，用沿線的有號長度建成，如下面方框所列。
AC / BC AC * BD
(A, B; C, D) = --------- = -----------
AD / BD AD * BC
(signed lengths: AC is positive one way, negative the other)
example on a number line, A=0 B=3 C=1 D=2 :
AC = 1, BC = -2, AD = 2, BD = -1
(A,B;C,D) = (1 * -1) / (2 * -2) = -1/(-4) = 1/4這裡是頭條性質，也正是交比之所以重要的原因。若你把這四個點從任意一個中心投影到任意另一條線上，它們的交比不變。相機要怎麼傾斜都行；四個像點帶著一模一樣的數 1/4。這就是投影幾何的基本不變量：交比之於投影幾何，正如距離之於歐氏幾何——是所有被允許的變換都同意要保住的量。通過單一一點的四條線也有交比（由對偶，用角度來量，或乾脆用任一條截線去切它們、讀出那四個點），而且不論你用哪一條截線都是同一個值。
當交比恰好等於 -1，這四個點有一個特別的名字：D 是 C 關於 A 與 B 的調和共軛，而這組點稱為調和點列。這是「C 與 D 以相同的比把 AB 作內分與外分」的投影影子，而且它無所不在——它是藏在完全四點形裡的構形、藏在一條圓錐曲線之極點與極線關係裡、也藏在中點連同無窮遠點之中。調和共軛是交比最常用的特例。
三顆寶石如何彼此咬合
這並不是三則孤立的奇談；它們互相支撐。笛沙格讓你透過一個中心與一條軸去比較兩個三角形——這正是一個透視的擺設，也就是一次從一點出發的投影。把兩個透視串接起來，你就得到一個射影對應，那是投影幾何的一般映射；而交比恰恰是每一個透視、從而每一個射影對應所保住的那個數。與此同時，帕普斯可被讀作這樣的陳述：把恰當的透視合成起來，其行為是一致的。這三個結果是同一個結構的三個視角：投影本身的幾何。
交比的不變性也把整個學科從定性升級為定量。笛沙格與帕普斯告訴你哪些接合被強制；交比則給你一個真正能計算、且能信賴它跨越任何投影的實數。這是通往投影幾何基本定理的門戶：一條線的一個投影變換，僅由它把三個點送到哪裡所完全釘死，而那三個一旦固定，交比就強制了第四個點必須去到哪裡。三個點來搭舞台，交比來編寫其餘的劇本。
讓我誠實地談談深度，秉持這座階梯的精神。我們已精確地陳述了全部三條定理、並給了你忠實的理由去相信它們——笛沙格藉由抬升進空間、交比藉由一個實際算出的數——但從投影公理出發的滴水不漏的證明，以及帕普斯與可交換性之間的深層關聯，屬於一門專門的投影幾何課程。你該帶走的不是一句口號，而是一幅可用的圖像：在一個被剝去距離與角度的世界裡，接合依然強制出豐富的結構，而單一一個數毫髮無傷地穿越每一次投影。
一條要帶進本段最後一篇的線索。交比與調和共軛不只關於一條線上的點——它們是馴服曲線的工具。投影平面中的一條圓錐曲線能完全透過線的交比來定義，不必提及焦點、離心率，甚至不必區分橢圓與雙曲線。最後一篇〈以投影的方式看圓錐曲線〉就直直地穿過那扇門：你在這裡建起的同一套機制，把三種古典圓錐曲線變成單一一個投影對象。