一種奇異的新對稱
到目前為止，你已經把一個 無窮遠點 黏到每個方向上、再用一條 無窮遠線 把它們全收攏，建出了 射影平面。報酬很乾淨：在這個平面裡，任兩條相異直線恰好交於一點，沒有惱人的平行例外。而當然，任兩個相異點仍然恰好落在一條直線上。把這兩句話接連讀一遍，會跳出一個近乎可疑的東西——它們是同一句話，只是把 點 和 線 兩個詞對調了。
這絕非巧合，而正是這篇導覽的全部故事。在射影平面裡，點和線站在驚人地平等的地位上。我們在它們之間真正需要的唯一關係，就是那一個 關聯 關係：一個點「位於」一條線上，或者同樣地，一條線「通過」一個點。請注意「位於……上」和「通過」只是同一個事實的兩種說法——A 在直線 m 上，恰好就等於 m 通過 A。這個關係並不在乎你把這兩個物件中的哪一個當作主詞。
為什麼這個對調是誠實的，而非魔法
把對偶留成一句迷人的口號——「就是把詞對調」——很容易。但口號不是證明，而這個對調為何真的保住真理，值得我們講清楚。誠實的版本直接出自你上一篇遇見的 齊次座標。那裡的一個點是一個三元組 (x, y, z)，不全為零，且忽略縮放。一條線則是方程式 a x + b y + c z = 0，而那條線由它自己的係數三元組 (a, b, c) 釘住，整體縮放同樣無關緊要。
盯著關聯條件 a x + b y + c z = 0 看。點落在線上，恰好就在這個和為零的時候。但這個式子在兩個三元組之間完全對稱：它把 (x, y, z) 與 (a, b, c) 配成一對，問它們在這個射影意義下是否「正交」。把你稱為點的那個三元組和稱為線的那個對調，同一條方程式讀起來照樣為真。所以一個點和一條線，各自不過是一個「忽略縮放的三元組」，而關聯是連結它們的一條對稱方程式。對調名稱不可能弄壞一個定理，因為底層的代數從頭到尾都沒注意到誰是誰。
point P = (x, y, z) line m = [a, b, c] incidence: a x + b y + c z = 0 read one way: point P lies on line m read other: line m passes through point P the expression is symmetric in (x,y,z) <-> (a,b,c) so swapping 'point' and 'line' preserves every incidence
你用來翻譯的那本字典
要在實作中用對偶，你會備一本小字典，把一個真陳述逐字翻譯成它的對偶。「點」變成「線」，「線」變成「點」。「點位於線上」變成「線通過點」。有兩個片語對偶得特別漂亮：「連接兩點的直線」變成「兩線的交點」，因為連接點正是相交線的精確鏡像。三點 共線（共用一條線）對偶成三線 共點（共用一個點）。
- 把定理只用關聯語言寫出來：點、線、「位於……上」、「通過」、「共線」、「共點」、「連接……的直線」、「相交於……的點」。把任何提到距離、角度或介性的字眼都剝掉——那些不是射影概念，沒有對偶可言。
- 把整個陳述裡的每個「點」與「線」對調、每個「線」與「點」對調，邏輯骨架原封不動。
- 成對的片語也對調：「共線」對「共點」，「連接兩點的直線」對「兩線共有的點」。
- 把新句子唸出聲。根據對偶原理，它自動就是一條定理——已經證明完畢，不需要另外動工，只要原來的那條純粹活在射影平面裡。
看著雙胞胎蹦出來
讓我們在開頭那兩個事實上開動這台機器。從「兩個相異點落在恰好一條線上」出發。翻譯：點變線、線變點，「落在……上」變「通過」。蹦出來的是「兩條相異線通過恰好一個點」——也就是任兩線交於單獨一點。射影平面那條來之不易的相交定理，不過是「兩點決定一線」這個顯然事實的對偶。一句話對偶一下，就把另一句免費遞給了你。
更有料的例子會在下一篇登場，但值得先預告一下。笛沙格定理（Desargues' theorem） 說：若兩個三角形從一個點透視——通過對應頂點的三條線全交於一個中心——那麼它們也從一條線透視，意思是對應邊的三個交點共線。把它對偶一下，你會得到一個結果竟是它自己的逆命題：笛沙格的對偶，本質上就是笛沙格的逆。有些構形平衡到一個地步，對偶會把它們摺回自己身上。
當一個圖形對偶成同樣形狀的圖形，我們稱它為 自對偶構形。最樸素的例子是三角形：三個點，與連接它們的三條線。把點和線對調，你得到三條線、與它們相交出的三個點——正是同一個三角形，只是從線那一側來描述。一個更醒目的例子是 完全四點形 對上完全四線形，這對對偶搭檔下一篇會用來釘住四個點之間的調和關係。
極點與極線：你畫得出來的對偶
目前為止，對偶一直是作用在句子上的邏輯運算。但還有一個具體、畫得出來的版本：一旦你固定一條圓錐曲線，它就替每個點配一條確定的線、替每條線配一個確定的點。給定一個圓（或任何圓錐曲線）和一個點 P，極點與極線 的作圖會產生一條特定的線 p，叫做 P 的極線；反過來跑，線 p 又把點 P 當作它的極點交還回來。這就是對偶的可視化：一個如假包換的幾何對應，把點換成線、再換回來。
這裡漂亮的一致性在於：極點—極線以對偶的方式尊重關聯——若點 Q 落在 P 的極線上，那麼 P 也落在 Q 的極線上。一側的關聯完美地變成另一側的關聯。所以這個作圖不只是詞對調式對偶的類比——它是對偶的忠實模型，用墨水畫出來、拿一條圓錐曲線當字典。抽象的對偶，和這個具體的極點—極線對偶，是同一枚硬幣的兩面。
對偶不能做什麼
過度信任對偶很誘人，所以讓我們誠實地畫出界線。對偶只對「純粹由關聯建成」的陳述精確成立——點、線、以及誰落在誰上面。一旦一個論斷提到距離、角度、全等、介性、或「中點」，它就離開了射影的地盤，也就沒有對偶可言。另一側並沒有一個保長度的搭檔在等著，因為長度不是射影量；它甚至連上一級那些射影變換都保不住。
第二個誠實的但書：對偶保證對偶陳述是一條定理，但它不會遞給你一個聰明或有啟發性的證明。你得到的證明，恰好是原證明逐行對偶過來的。那在邏輯上滴水不漏，卻可能感覺機械，而且它絕不會告訴你任何原來沒編進去的東西。對偶讓你的定理庫存翻倍；它不會讓你的新點子供給翻倍。這句話的兩半都值得記牢。