一切立足的那一塊磚
面積回答一個非常具體的問題：要鋪滿這個形狀、不留縫也不重疊，需要多少個單位正方形？對矩形來說，答案立刻就有。把單位正方形排成一列一列，數一數有幾列、幾行，你就得到 矩形面積，等於底乘高，A = b times h。這個乘積不是憑空冒出來的定義——它就是那個鋪法裡「列數乘行數」的計數。本篇的一切，都是靠把更難的形狀化約成這塊誠實的磚而建起來的。
在裁切任何東西之前，先把初學者常混在一起的兩個詞分開。周長 是沿著邊界繞一圈的距離——把各邊長加起來，就這樣。而 面積 是被圍住的那塊表面的大小。它們量的是不同的東西，住在不同的單位裡：周長用一般的長度單位，面積用平方單位。兩個形狀可以有相同的周長，卻圍出天差地別的面積，這件事我們會不只一次靠它。
平行四邊形、三角形、梯形：剪移、取半、求平均
從平行四邊形開始。沿著一端斜邊切下一個直角三角形的楔子，把它滑到另一端去，傾斜的形狀就站正成一個同底同高的矩形。沒有加進什麼也沒拿走什麼，所以面積不變：平行四邊形面積 同樣是 A = b times h。這裡關鍵的誠實之處在於你用的是哪個 h——不是斜邊的長度，而是 垂直 高，也就是兩條平行底線之間直上直下的距離。誤把斜邊代進去，每次都會算多。
現在看三角形。取任何一個三角形，複製一份，把複製品上下翻轉，再沿著一條相配的邊把兩者拼起來。它們扣成一個同底同高的平行四邊形，所以這個三角形恰好是它的一半。這就給出 三角形面積：A = (1/2) times b times h。三邊中任何一邊都可以當底，只要你把它和「垂直落到同一邊上的高」配對——令人安心的是，三種選法都給出同一個答案。
梯形有兩條長度不同的平行邊，叫它們 b_1 與 b_2，相隔一個垂直高 h。把第二份翻轉的複製品貼在第一份旁邊，這一對就變成一個底為 b_1 + b_2 的平行四邊形。取半就給出 梯形面積：A = (1/2) times (b_1 + b_2) times h。把它讀成「兩平行邊的平均乘以高」——梯形表現得像一個寬度等於中線的矩形。矩形和三角形不過是其中的特例：兩平行邊相等時，或其中一條縮成一點時。
海龍公式：只憑三邊就求出面積
到目前為止每個公式都要一個高。但你常常拿到的三角形只給了三邊長 a、b、c，別無其他——沒有角，也沒畫出任何高。你還能求出面積嗎？可以，而答案就是 海龍公式，這是初等幾何裡最安靜地令人驚嘆的結果之一。它只憑三邊就算出面積，圖裡連一個高都沒有。
Let s = (a + b + c) / 2 (the semiperimeter: half the perimeter)
Area = sqrt( s (s - a) (s - b) (s - c) )
Example: sides 13, 14, 15
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
Area = sqrt( 21 * (21-13) * (21-14) * (21-15) )
= sqrt( 21 * 8 * 7 * 6 )
= sqrt( 7056 )
= 84半周長 s = (a + b + c)/2 叫做 半周長，它是這個公式的槓桿。注意那份優雅的對稱：(s - a)、(s - b)、(s - c) 三個因子各自漏掉一邊，所以沒有哪一邊享有特權。也注意它內建的誠實檢查。如果有一邊比另外兩邊之和還長——比方說三邊 1、1、5——那麼那一邊的因子 (s - a) 會變負，根號下的乘積變負，公式就拒絕回傳一個實數。這不是故障；這是公式正確地報告：根本沒有這樣的三角形存在，這正是 三角形不等式 在發聲。
面積怎麼可能只取決於三邊？因為三個邊長就已經把一個三角形的形狀完全釘死了——這正是稍早梯級裡 SSS 全等 的內容。一旦三邊固定，每個角、每個高也都固定了，所以面積無從自由游移。海龍公式老實說並不好推導——最乾淨的途徑要經過餘弦定理和一頁耐心的代數，我們不在這裡硬磨——但它的真確性穩穩地立在 SSS 上，而任何一個例子你都能拿尺驗證。
任何多邊形：把它切成三角形
這就是替整個家族收尾的那一招。取任何一個 多邊形，不管它有幾條邊，從單一個頂點畫 對角線，把它切成三角形。一個 n 邊的多邊形這樣會切成恰好 n - 2 個三角形——五邊形切成三個，六邊形切成四個。用底乘高或用海龍公式求出每個三角形的面積，加起來，你就有了整個多邊形的面積。不需要任何新理論；三角形就是那個萬用的構件。
- 選一個凸多邊形，按順序標出它的頂點 P_1、P_2，一直到 P_n。
- 從 P_1 畫出每條對角線：線段 P_1 P_3、P_1 P_4，以此類推。這就把多邊形刻成 n - 2 個共用頂點 P_1 的三角形。
- 求出每個三角形的面積——有高就用底乘高，只有邊長就用海龍公式。
- 把各三角形的面積加起來。總和就是多邊形的面積，因為這些碎片恰好把它鋪滿，不留縫也不重疊。
正多邊形：邊心距的捷徑
當多邊形是 正 的——所有邊相等、所有角相等——數三角形這件事就塌縮成一個乾淨的公式。正多邊形 有一個圓心，與每個頂點、每條邊都等距。從那個圓心垂直伸到一邊中點的距離，就是 邊心距，記作 a。從圓心連到各頂點的輻條線，把多邊形分成 n 個全等的三角形，每個的底等於一條邊，高等於邊心距。
這 n 個三角形每一個的面積都是 (1/2) times (邊) times a。把 n 個全加起來，而由於 n 份邊長正好就是周長 P，整個正多邊形的面積就是 A = (1/2) times a times P——邊心距乘周長的一半。這是個小巧、好記的結果，而它正是你下一篇就會遇見的圓面積的直系祖先：讓邊數無限增長，邊心距變成半徑，周長變成 圓周長，而 (1/2) a P 就悄悄變成 (1/2) r times 圓周長。多邊形公式在圓那裡並沒有崩壞；它成熟蛻變成了圓。
誠實的邊角：單位、座標，與一個警告
幾個提醒能讓這些公式值得信賴。面積永遠保持平方單位——平方公分、平方公尺——絕不要讓它借用屬於周長的那種一般長度單位。也要抵抗那個誘人的錯誤信念：以為周長較大就一定面積較大。一個又長又細的三角形薄片可以有龐大的周長卻幾乎沒有面積，而一個較矮胖、近乎正方形、周長還更小的形狀，反而圍住多得多的面積。周長和面積是真正獨立的兩種量度，把它們混為一談是初學者最常犯的錯誤之一。
最後，往前瞥一眼。等你走到座標幾何，你連對角線都不必畫了：鞋帶公式直接從多邊形各頂點的座標讀出它的面積，靠的是一個整齊的叉積之和。那其實就是同一個三角剖分的想法披上了代數的外衣，並且倚靠著我們一開始那塊誠實的磚。把這裡「剪切重排」的思維練到家，那套日後的機制就會像老朋友，而不是又一條要硬背的規則。