你的第一個兩欄式證明

兩欄式證明到底是什麼

到現在你已經備齊所有零件了。你認得原始名詞點、線、平面；你能分辨定義與定理；你有公設與共有概念可以倚靠；而從上一篇你已知道一個條件句含有前提與結論。兩欄式證明只是把那套推理寫下來的一種方式，好讓任何人——包括未來的你自己——都挑不出毛病。左欄列出陳述，右欄給出每一句陳述被允許的理由。

這套紀律很嚴苛，而這正是重點：左欄的每一行都必須由右欄恰好一件東西來支撐——一條公設、一個定義、一條先前已證的定理、一條共有概念，或題目給你的條件。沒有任何一行可以建立在「圖看起來是這樣」之上。圖可以暗示方向，但永遠不能當作理由，因為一張畫得不準的圖、或一個特例，都可能騙過眼睛。

起手式：從一個主張到一份計畫

讓我們證明一個真正的定理——關於對頂角那個。當兩條直線相交，會形成四個角；其中正對面、不共用一條邊的那兩個就是對頂角。主張是：對頂角的度數相等。你一定看過也相信這件事。但相信不等於證明。我們得從已被認可的事實出發，硬把結論逼出來。

首先，把主張改寫成條件句，並把圖釘死。直線 AB 與 CD 相交於點 O。繞著 O 走一圈，把角標好，使 angle AOC 與 angle BOD 是我們關心的那對正對（對頂）角，而 angle AOD 在一側夾在它們之間。關鍵角色是它們各自與之共邊的那個角。注意 angle AOC 與 angle AOD 合起來構成一條直線——它們是一組線性對——angle AOD 與 angle BOD 也是。

橋樑：一組線性對加起來是 180

這裡借用唯一一個事實。一組線性對的角——兩個共用一條邊、另外兩邊沿一條直線指向完全相反方向的角——互為補角：它們的度數加起來是 180 度。這不是魔法；它由角加法公設（兩角度數相加等於它們合成的整個角的度數）加上「平角為 180 度」這個事實推得。我們會把它當作已知結果來引用，好讓焦點留在對頂角的論證上。

看看這給了我們什麼。AOC 與 AOD 這一對是線性對，所以 m(angle AOC) + m(angle AOD) = 180。AOD 與 BOD 這一對也是線性對，所以 m(angle AOD) + m(angle BOD) = 180。兩個各自等於 180 的量必定彼此相等——這是一條共有概念，就是歐幾里得所說的「等於同一量的兩量彼此相等」。共用的那一塊，angle AOD，馬上就要被消掉了。

證明，排成兩欄

現在我們只要把計畫謄寫下來。慢慢讀：左邊每一句陳述能站住腳，全靠它右邊的理由。這裡沒有一處訴諸圖形；每一行都是一條公設、一個定義、一條共有概念，或我們講好要借用的線性對結果。

Given: lines AB and CD meet at O.     Prove: m(angle AOC) = m(angle BOD)

  STATEMENT                                 REASON
  1. AOC and AOD are a linear pair          1. Definition of a linear pair
  2. m(angle AOC) + m(angle AOD) = 180      2. Linear pair is supplementary
  3. AOD and BOD are a linear pair          3. Definition of a linear pair
  4. m(angle AOD) + m(angle BOD) = 180      4. Linear pair is supplementary
  5. m(angle AOC) + m(angle AOD) =          5. Both equal 180 (substitution /
     m(angle AOD) + m(angle BOD)               things equal to the same thing)
  6. m(angle AOC) = m(angle BOD)            6. Subtract m(angle AOD) from both
                                               sides  (Q.E.D.)

對頂角定理，逐行證明——angle AOD 在兩個等式中是同一個量，把它消去後，剩下兩個對頂角相等。

這就是對頂角定理一個完整、誠實的證明。第 6 步悄悄用了另一條共有概念——「等量減等量，其差相等」——這正是「等式兩邊可同減一數」的日常規則。最後那個小小的「Q.E.D.」（或一個實心方塊）只是宣告：我們一開始要抵達的結論，已經抵達了。

第二個證明，以及該保留的習慣

把同一套機器用在一個小小的線段主張上，感受方法是可以遷移的。設 M 是線段 AB 的中點，你想證明 |AM| 等於 |AB| 的一半。下面的步驟刻意寫得很短；注意引擎是完全一樣的——一個已知、一個定義，再以「代數即共有概念」收尾。

已知：M 是 AB 的中點。（這是你可以假設的。）
由中點的定義，|AM| = |MB|。（理由：定義，不是圖。）
由線段加法公設，|AM| + |MB| = |AB|。（整體等於各部分之和。）
用 |AM| 代換 |MB|（兩者相等），得到 |AM| + |AM| = |AB|，即 2|AM| = |AB|。
兩邊同除以 2：|AM| = |AB| / 2。完成——每一步都說出了理由。

繼續前進時有兩個誠實的提醒。第一，一個證明的可信度，不超過它所引用結果的可信度：我們倚靠了「線性對互為補角」，而這本身又奠基於角加法公設——真正嚴謹的證明要嘛把那條引理也證出來、要嘛指出它在哪裡被證過，絕不會因為「看起來顯然」就直接假設它。第二，留意條件句的方向：證明「若為對頂角，則相等」並不證明其逆命題「若相等，則為對頂角」（兩個角可以因各種理由而相等）。而只要你的草稿曾經建立在「圖上看得出來」之上，你找到的就不是理由——你找到的是一個缺口，正等著一個反例。